वंशानुगत C * -subalgebra पर एक प्रश्न।
से: एमनेबल सी * -ललेजब्रस के वर्गीकरण के लिए एक परिचय।
लेम्मा 3.5.8। चलो$A$एक C * -लगेबरा हो जो इस शर्त को पूरा करता हो कि हर वंशानुगत C * -सुबलेब्रा में कम से कम दो पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल नॉनजेरो पॉजिटिव तत्व होते हैं। फिर किसी भी नॉनजरो तत्वों के लिए$a,b\in A^+$ गैर-सकारात्मक तत्व हैं $a_1\in \text{ Her}(a)$ तथा $b_1\in \text{ Her}(b)$ ऐसा है कि $a_1b_1= 0$।
प्रमाण। हम यह मान सकते हैं$x = ab \neq 0$। मान लो कि$x = v|x|$ ध्रुवीय अपघटन है $x$ में $A''$। ठीक कर$0 < \epsilon < \|x\|$। धारणा से, पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल नॉनज़रो सकारात्मक तत्व होते हैं$d_1,d_2$ ऐसा है कि $f_\epsilon(|x|)d_i = d_i$, $i = 1,2$। फिर$c_i = vd_iv^*\in\text{ Her}(|x^*|)$ तथा $f_\epsilon(|x^*|)c_i = c_i$,$i = 1,2$। जबसे$c_2vd_1d_1v^*C_2 = 0$, $c_2vd_1 = 0$। चलो$g(t) = t^{-l}f_\epsilon(t)$। फिर$g \in C_0((0, \|x\|])^+$। सेट$z_1 = g(|x|)d_1$। फिर
$xz_1 = v|x|g(|x|)d_1 = vf_\epsilon(|x|)d_1 = vd_1$।
इसलिये $c_2xz_1= c_2vd_1 = 0$। अब सेट करें$b_1 = bz_1b$ तथा $a_1= ac_2a$। ध्यान दें कि $b_1\in\text{Her}(b)^+$, $a_1\in \text{ Her}(a)^+$और दोनों नॉनज़रो हैं। तथापि, $a_1b_1 = ac_2abz_1b = a(c_2xz_1)b = 0$।
$f_\epsilon(t)$ निरंतर मोनोटोनिक फ़ंक्शन ऐसा है $f_\epsilon(t)=0$ पर $[0,\epsilon/2]$ तथा $f_\epsilon(t)=1$ पर $[\epsilon,\infty)$।
का अस्तित्व देखता हूं $d_1,d_2$, लेकिन मैं क्यों नहीं देखता $b_1=bz_1b$ सकारात्मक है।
इसके अलावा, अगले लेम्मा में, लेम्मा 3.5.9
चलो $A$संपत्ति (एसपी) के साथ एक साधारण सी सी * -लजब्रे हो। फिर किसी भी गैर-सकारात्मक तत्वों के लिए$a,b \in A$ वहाँ है $u \in U(A)$ ऐसा है कि $u\text{Her}(a)u^* \cap \text{Her}(b) \neq {0}$।
यह कहता है, यह उपरोक्त लेम्मा से है जो हम मानते हैं $ab = 0$। मैं देखता हूं कि हम क्यों मान सकते हैं$ab=0$, लेकिन अगर लेम्मा 3.5.8 सच नहीं है, तो मैं लेम्मा 3.5.8 के बिना यह कैसे साबित कर सकता हूं?
जवाब
सकारात्मकता के पक्ष में बहस करने के कई तरीके हो सकते हैं $b_1$ लेकिन जबसे $b_1=b^*z_1b$ (याद करें कि $b$ आत्म-अभिमान है), मुझे लगता है कि सबसे प्राकृतिक तरीका यह साबित करने की कोशिश करना है $z_1$सकारात्मक है। हालांकि, अगर कोई इसके अलावा कुछ भी नहीं मानता है $d_1$ सकारात्मक है, और वह $f_\varepsilon (|x|)d_1=d_1$, यह कटौती संभव नहीं है $z_1$ सकारात्मक है।
यहाँ एक काउंटर-उदाहरण है: भीतर काम करना $M_3(\mathbb {C})$, जाने दो $x=\text{diag}(1,2,3)$, ताकि $|x|=x$।
स्थापना $\varepsilon =2$, हमारे पास वह है $f_\varepsilon (1)=0$, जबकि $f_\varepsilon (2)=f_\varepsilon (3)=1$, इसलिए $$ f_\varepsilon (|x|)=\text{diag}(0, 1, 1). $$
दूसरी ओर, साथ $g(t)=t^{-1}f_\varepsilon (t)$, हमारे पास वह है $g(1)=0$, $g(2)=1/2$, तथा $g(3)=1/3$, और इसीलिए $$ g(|x|)=\text{diag}(0,1/2,1/3). $$
के क्रम में "$f_\varepsilon (|x|)d_1=d_1$"धारण करने के लिए हम इस प्रकार ले सकते हैं $d_1$ फॉर्म का कोई भी सकारात्मक मैट्रिक्स होना $$ d_1 = \pmatrix{ 0 & 0 & 0 \cr 0 & * & * \cr 0 & * & *}. $$
इसलिए एक को चुनना आसान है, जिसके साथ कोई विवाद नहीं है $g(|x|)$ (कोई भी गैर-विकर्ण मैट्रिक्स करेगा), जिस स्थिति में उत्पाद $$ z_1:=g(|x|)d_1 $$ आत्म-स्थगित होने में विफल रहेगा, बहुत कम सकारात्मक।