विकर्ण / निरंतर समूह योजना का गलत द्वंद्व?

Question

निम्नलिखित निरंतर समूह योजना और विकर्ण समूह योजना का परिचय है।

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चलो $M$ एक मनमाना सार समूह हो और $S$एक योजना बनो। चलो$M_S=\coprod_{i\in M}S_i$ कहां है $S_i=S$, जिसका निर्माण किसी योजना के डेटा के जरिए किया जा सकता है, टैग 01JA देखें । फिर$M_S$ को निरंतर समूह योजना कहा जाता है $S$ के लिए जुड़े $M$। और किसी के लिए$S$-शमी $T$, $M_S(T)=\{\text{locally constant functions }f:|T|\to M\}$, कहां है $|T|$ जरीकी टोपोलॉजी है और $M$ असतत टोपोलॉजी है, और स्थानीय रूप से निरंतर फ़ंक्शन को परिभाषित किया गया है $\forall t\in T,\exists U\ni t\text{ open}$ सेंट $f(U)={f(t)}$। टैग देखें 03YW

समूह योजना का दोहरापन $G$ ऊपर $S$ एक योजना है जो फ़नकार का प्रतिनिधित्व करती है $T/S\mapsto \mathrm{Hom}_{\mathrm{Gr}-T}(G_T,\mathbb{G}_m)$। एक निरंतर समूह योजना के लिए$M_S$, इसके दोहरे के रूप में चिह्नित किया जाता है $D(M)$ या $D_S(M)$और वे सटीक रूप से विकर्ण समूह योजनाएं हैं। विशेष रूप से, यह मौजूद है और$\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec}D_S(M)\cong \Spec \mathbb{Z}[M]\times_{\Spec \mathbb{Z}}S$ कहां है $\mathbb{Z}[M]$ समूह वलय है $\bigoplus_{i\in M}\mathbb{Z}_i$एक स्पष्ट अंगूठी संरचना के साथ। ध्यान दें कि$D_S(M)$ हमेशा कोई बात नहीं है कि क्या सराहनीय है $M$ सराहनीय है।

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यह कुछ संदर्भ में ज्ञात है कि यदि $M$ तब सराहनीय है $D_SD_S(M)=M_S$ अर्थात $M_S$पलटा हुआ है। (उदाहरण के लिए SGA3, एक्सपोज VIII, पेज 3, प्रमेय 1.2 या [समूह Algeacutebriques द्वारा Demazure और गेब्रियल, चैप II, §2,2.11 दोहरे डेस समूह विकर्ण। लेकिन कोई भी सबूत पुख्ता नहीं लगता। और मुझे लगता है कि कुछ अर्थों में एक प्रतिरूप मिल रहा है।

के बीच की मेरी समझ से $\DeclareMathOperator{\itSpec}{\mathit{Spec}}D_SD_S(M)(T)=\mathrm{Hom}_{\mathrm{Gr}-T}(\itSpec_{\mathcal{O}_T}\mathcal{O}_T[M],\mathbb{G}_m)$ तथा $M_S(T)$। में एक तत्व$\mathrm{Hom}_{\mathrm{Gr}-T}(\itSpec_{\mathcal{O}_T}\mathcal{O}_T[M],\mathbb{G}_m)$ के नक्शे से मेल खाती है $\mathcal{O}_T$-लालब्रज $f:\mathcal{O}_T[t,t^{-1}]\to \mathcal{O}_T[M]=\bigoplus_{i\in M}\mathcal{O}_T$ सेंट $\epsilon f(t)=1$ तथा $\Delta(f(t))=f(t)\otimes f(t)$।

अगर हम लिखते हैं $f(t)=\sum_{i\in M}a_i\cdot e_i\in \bigoplus_{i\in M}\mathcal{O}_T(T)$ तो हमारे पास हैं $a_i \cdot a_j=\delta_{ij}a_i$ तथा $1=\sum_i a_i$ (इसलिए प्रत्येक $a_i$ में एक आदर्श तत्व है $\mathcal{O}_T(T)$) का है। स्पष्ट रूप से$\forall s\in T,1|_s=\sum_i a_i|_s$ तो कम से कम एक $a_i$ पर समर्थित है $s$। तथा$T_{s_i} \cap T_{s_j}=T_{s_is_j}=T_0=\emptyset$। इसलिए$(T_{s_i})_{i\in M}$ का एक खुला खुला कवर बनाता है $T$ जिसकी पहचान स्थानीय स्तर पर स्थिर कार्य से की जा सकती है $T$ सेवा मेरे $M$। लेकिन समस्या केवल यही है,$\sum_{i\in M}a_i\cdot e_i\in \bigoplus_{i\in M}\mathcal{O}_T(T)$केवल परिमित शब्द हैं, जिसका अर्थ है कि स्थानीय रूप से निरंतर मानचित्र में केवल एक परिमित छवि है। और मेरा मानना ​​है कि स्थानीय रूप से स्थिर कार्य मौजूद हैं$T\to M$ अनंत छवि के साथ, जिससे प्रेरित नहीं किया जा सकता है $\mathcal{O}_T[t,t^{-1}]\to \mathcal{O}_T[M]=\bigoplus_{i\in M}\mathcal{O}_T$।

तो मेरे तर्क का कौन सा हिस्सा गलत है? या क्या हमें कुछ अतिरिक्त शर्तों की आवश्यकता है$M$ (जैसे परिमित या सूक्ष्म रूप से उत्पन्न) या आधार योजना $S$(स्थानीय रूप से Noetherian की तरह, स्थानीय रूप से जुड़ा या जुड़ा हुआ)? या द्वैत केवल कुछ टोपोलॉजी में है जैसे fppf / etale टोपोलॉजी?

Answer 1

मैं एक पहचान देने जा रहा हूं $DD(M)(S)$ तथा $M_S(S)$। पहचान का उपयोग करना$D(M)=\mathrm{Spec}\mathcal{O_S}[M]$ तथा $\mathbb{G}_m=D(\mathbb{Z})$, अपने पास $$DD(M)(S)=\mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_S-\mathrm{Hopf-alg}}(\bigoplus_{i\in \mathbb{Z}}e_i\mathcal{O}_S,\bigoplus_{i\in M}e_i\mathcal{O}_S)$$ अर्थात हर तत्व एक मानचित्र द्वारा निर्धारित किया जाता है $\phi$ का $\mathcal{O}_S$-मॉड्यूल्स सेंट निम्नलिखित चित्रण आरेख रखता है $$\require{AMScd}\begin{CD} \bigoplus_{i\in \mathbb{Z}}e_i\mathcal{O}_S @>\phi>> \bigoplus_{i\in M}e_i\mathcal{O}_S\\ @VV{e_i\mapsto e_i\otimes e_i}V @VV{e_i\mapsto e_i\otimes e_i}V\\ \bigoplus_{j,k\in \mathbb{Z}}e_{j}\mathcal{O}_S\otimes e_k\mathcal{O}_S @>\phi\otimes \phi>> \bigoplus_{a,b\in M}e_a\mathcal{O}_S\otimes e_b \mathcal{O}_S \end{CD}$$ यह डेटा के बराबर है $\mu :\mathcal O_S \cong e_1\mathcal{O}_S\stackrel{\phi}{\to}\bigoplus_{i\in M}e_i\mathcal{O}_S$ (लिखा हुआ $\mu=\sum_i e_i \mu_i$ कहां है $\mu_i:\mathcal{O}_S\stackrel{\mu}{\to}\bigoplus_{j\in M}e_j\mathcal{O}_S\to e_i\mathcal{O}_S\cong \mathcal{O}_S$) सेंट चित्र आरेख $$\require{AMScd}\begin{CD} \mathcal{O}_S @>\mu>> \bigoplus_{i\in M}e_i\mathcal{O}_S\\ @VV{\mathrm{id}}V @VV{e_i\mapsto e_i\otimes e_i}V\\ \mathcal{O}_S @>{\mu\otimes\mu}>> \bigoplus_{a,b\in M}e_a\mathcal{O}_S\otimes e_b \mathcal{O}_S \end{CD}$$ तथा $\sum_i \mu_i=\mathrm{id}$।

यह उस स्थिति के बराबर है जो $(\mathcal{O}_S\otimes \mathcal{O}_S\stackrel{\Delta}{\to}\mathcal{O}_S)\circ(\mu_a \otimes \mu_b)=\delta_{ab}\mu_a$ तथा $\sum_i \mu_i=\mathrm{id}$।

किसी भी अधिक खुला होने पर, हमारे पास है $(\mathcal{O}_S\otimes \mathcal{O}_S\stackrel{\Delta}{\to}\mathcal{O}_S)\circ(\mu_a \otimes \mu_b)=\mu_a \circ \mu_b$। तो यह उस स्थिति के बराबर है$\mu_a \circ \mu_b =\delta_{ab}\mu_a$ तथा $\sum_i \mu_i =\mathrm{id}$।

दावा करें: यह डेटा के बराबर है {$(U_i)_{i\in M}$ एक निराशाजनक खुला कवर है $S$}।

दावे का प्रमाण। एक खुला कवर दिया गया$(U_i)_{i\in M}$ का $S$, फिर प्रत्येक $U_i^c=\bigcup_{j\neq i}U_j$ खुला है, एक अनूठा तत्व मौजूद है $c_i\in \mathcal{O}_S(S)$ सेंट $c_i|_{U_i}=1$ तथा $c_i|_{U_i^c}=0$शीफ के स्वयंसिद्ध का उपयोग करना। प्रत्येक के साथ$c_i$ हम संबद्ध कर सकते हैं $\mu_i:\mathcal{O}_S\to \mathcal{O}_S,u\mapsto c_i u$। यह देखना मुश्किल नहीं है$\mu_a \circ \mu_b=\delta_{ab}\mu_a$। जैसा$\sum_i c_i=1$, अपने पास $\sum_i \mu_i=\mathrm{id}$।

प्रत्येक के लिए उल्टा $s\in S$, $\mu_{i,s}:\mathcal{O}_{S,s}\to\mathcal{O}_{S,s}$ द्वारा पूरा किया गया है $c_{i,s}=\mu_{i,s}(1)$। हम वह जानते हैं$c_{i,s}c_{j,s}=\delta_{ij}c_{i,s}$ तथा $\sum_{i}c_{i,s}=1$। तो प्रत्येक$c_{i,s}$ आलसी है ($x^2=x$), लेकिन एक स्थानीय रिंग में एकमात्र निष्क्रिय तत्व है $0$ तथा $1$। तो बिल्कुल एक$(c_{i,s})_{i\in M}$ 1 है।

किसी के लिए $i$, निरूपित करें $U_{i}$ उपसमूह से मिलकर बनता है $s$ सेंट $\mu_{i,s}=\mathrm{id}$। फिर$(U_{i})_{i\in M}$असहमति है। अगर$s\in U_i$, तब फिर $\mu_{i,s}=\mathrm{id}$, स्पष्ट रूप से यह एक खुले पड़ोस तक फैला हुआ है $s$, टैग 01CP देखें । इस प्रकार$(U_{i})_{i\in M}$ का खुला कवर है $S$। परिणाम इस प्रकार है।$\square$

स्पष्ट रूप से डेटा {$(U_i)_{i\in M}$ एक निराशाजनक खुला कवर है $S$} डेटा के बराबर है {स्थानीय रूप से निरंतर फ़ंक्शन $S\to M$}। परिणाम इस प्रकार है।