वो दिखाओ ${{n}\choose{x}}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$

Question

प्रश्न: मान लीजिए$x $एक गैर नकारात्मक पूर्णांक है। परिभाषित${{m}\choose {x}}=0$ अगर $x>m $। लश्कर$\{p_n\}$ अनुक्रम संतोषजनक हो $0 <p_n <1$ तथा $\lim\limits_{n\to\infty} np_n=\lambda$। वो दिखाओ$${{n}\choose {x}}p _n^x (1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$$

क्या यह पोइसन वितरण सूत्र के प्रमाण के बराबर है? मैं यह इसलिए पूछ रहा हूं क्योंकि पोइसन डिस्ट्रीब्यूशन फॉर्मूले के स्टेटेंट मेंट में$np$ स्थिर है, लेकिन जब यहाँ है $n\to\infty $ $np\to $कुछ स्थिर$=\lambda $। पोइसन डिस्ट्रीब्यूशन फॉर्मूला में भी$\lim\limits_{n\to\infty} {{n}\choose{x}}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$ लेकिन हमें किसी के लिए साबित करना होगा $n $कोई सीमा नहीं है। तो क्या समस्या का प्रमाण और पोइसन वितरण सूत्र समान है?

नोट: समस्या में सूत्र की कोई सीमा नहीं है। हमें साबित करना होगा$${{n}\choose {x}}p _n^x (1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$$ नहीं $$\lim\limits_{n\to\infty} {{n}\choose{x}}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$$

Answer 1

$\boxed{\text{Hint}}$

$$\binom{n}{x}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}\frac{(np_n)^x}{n^x}\frac{(1-np_n/n)^n}{(1-p_n)^x}$$

जबसे $\lim_{n\rightarrow\infty}np_n=\lambda$, हमें मिला $$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}(1-np_n/n)^n=\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\lambda/n)^n=e^{-\lambda}}$$

$$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}(np_n)^x=\lambda^x}$$ और यह दिखाने की कोशिश करें $$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{(n-x)!n^x}=1\\\lim_{n\rightarrow\infty}(1-p_n)^x=1}$$

Answer 2

आपके द्वारा लिखी गई सीमा पॉइसन सीमा प्रमेय का औपचारिक विवरण है ।

आपके द्वारा पहले देखे गए संस्करण में थोड़ी कम सामान्य धारणा है (यह बल देता है $np_n = \lambda$ सबके लिए $n$, बजाय $np_n \to \lambda$) है। प्रमाण बहुत समान होंगे, लेकिन आपको संभवतः अधिक सामान्य दावे के लिए कुछ अतिरिक्त करना होगा।

दोनों बयानों में, एक सीमा है $n \to \infty$; मुझे यकीन नहीं है कि आपका क्या मतलब है "हमें किसी के लिए साबित करना है$n$ कोई सीमा नहीं है। ”

Answer 3

तय के लिए $x$,$$\frac{\binom{n}{x}}{n^x/x!}=\prod_{i=0}^{x-1}(1-i/n)=\exp\sum_{i=0}^{x-1}\underbrace{\ln(1-i/n)}_{\sim-i/n}\approx\exp\frac{-x(x-1)}{2n}\stackrel{n\to\infty}{\to}1.$$जैसा $n\to\infty$, $1-p_n\to1$ इसलिए$$\binom{n}{x}p_n^x(1-p_n)^{n-x}\sim\frac{\left(\frac{np_n}{1-p_n}\right)^x(1-p_n)^n}{x!}\sim\frac{\lambda^x e^{-np_n}}{x!}\stackrel{n\to\infty}{\to}\frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}.$$