제어 시스템-블록 다이어그램 대수
블록 다이어그램 대수는 블록 다이어그램의 기본 요소와 관련된 대수 일뿐입니다. 이 대수는 대수 방정식의 그림 표현을 다룹니다.
블록에 대한 기본 연결
두 블록 사이에는 세 가지 기본 연결 유형이 있습니다.
시리즈 연결
직렬 연결이라고도합니다. cascade connection. 다음 그림에서 전달 함수 $ G_1 (s) $ 및 $ G_2 (s) $가있는 두 블록이 직렬로 연결됩니다.
이 조합의 경우 출력 $ Y (s) $를 다음과 같이 얻습니다.
$$ Y (s) = G_2 (s) Z (s) $$
여기서 $ Z (s) = G_1 (s) X (s) $
$$ \ 오른쪽 화살표 Y (s) = G_2 (s) [G_1 (s) X (s)] = G_1 (s) G_2 (s) X (s) $$
$$ \ 오른쪽 화살표 Y (s) = \ lbrace G_1 (s) G_2 (s) \ rbrace X (s) $$
이 방정식을 출력 방정식의 표준 형식 인 $ Y (s) = G (s) X (s) $와 비교하십시오. 여기서 $ G (s) = G_1 (s) G_2 (s) $.
이는 우리가 series connection단일 블록으로 두 블록의. 이 단일 블록의 전달 함수는product of the transfer functions그 두 블록의. 동등한 블록 다이어그램이 아래에 나와 있습니다.
마찬가지로 단일 블록으로 'n'블록의 직렬 연결을 나타낼 수 있습니다. 이 단일 블록의 전달 함수는 모든 'n'블록의 전달 함수의 곱입니다.
병렬 연결
연결되는 블록 parallel 가질 것이다 same input. 다음 그림에서 전달 함수 $ G_1 (s) $ 및 $ G_2 (s) $가있는 두 블록이 병렬로 연결됩니다. 이 두 블록의 출력은 합산 지점에 연결됩니다.
이 조합의 경우 출력 $ Y (s) $를 다음과 같이 얻습니다.
$$ Y (s) = Y_1 (s) + Y_2 (s) $$
여기서 $ Y_1 (s) = G_1 (s) X (s) $ 및 $ Y_2 (s) = G_2 (s) X (s) $
$$ \ 오른쪽 화살표 Y (s) = G_1 (s) X (s) + G_2 (s) X (s) = \ lbrace G_1 (s) + G_2 (s) \ rbrace X (s) $$
이 방정식을 출력 방정식의 표준 형식 인 $ Y (s) = G (s) X (s) $와 비교하십시오.
여기서 $ G (s) = G_1 (s) + G_2 (s) $.
이는 우리가 parallel connection단일 블록으로 두 블록의. 이 단일 블록의 전달 함수는sum of the transfer functions그 두 블록의. 동등한 블록 다이어그램이 아래에 나와 있습니다.
마찬가지로 단일 블록으로 'n'블록의 병렬 연결을 나타낼 수 있습니다. 이 단일 블록의 전달 함수는 모든 'n'블록의 전달 함수의 대수적 합입니다.
피드백 연결
이전 장에서 논의했듯이 두 가지 유형의 feedback— 긍정적 인 피드백과 부정적인 피드백. 다음 그림은 네거티브 피드백 제어 시스템을 보여줍니다. 여기서 전달 함수 $ G (s) $ 및 $ H (s) $를 갖는 두 개의 블록은 폐쇄 루프를 형성합니다.
합산 점의 출력은 다음과 같습니다.
$$ E (s) = X (s) -H (s) Y (s) $$
$ Y (s) $ 출력은-
$$ Y (s) = E (s) G (s) $$
위 방정식에서 $ E (s) $ 값을 대체하십시오.
$$ Y (s) = \ left \ {X (s) -H (s) Y (s) \ rbrace G (s) \ right \} $$
$$ Y (s) \ left \ {1 + G (s) H (s) \ rbrace = X (s) G (s) \ right \} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {X (s)} = \ frac {G (s)} {1 + G (s) H (s)} $$
따라서 네거티브 피드백 폐쇄 루프 전달 함수는 $ \ frac {G (s)} {1 + G (s) H (s)} $입니다.
이는 단일 블록으로 두 블록의 부정적인 피드백 연결을 나타낼 수 있음을 의미합니다. 이 단일 블록의 전달 함수는 네거티브 피드백의 폐쇄 루프 전달 함수입니다. 동등한 블록 다이어그램이 아래에 나와 있습니다.
마찬가지로 단일 블록으로 두 블록의 긍정적 인 피드백 연결을 나타낼 수 있습니다. 이 단일 블록의 전달 함수는 포지티브 피드백의 폐 루프 전달 함수입니다. 즉, $ \ frac {G (s)} {1-G (s) H (s)} $
포인트 합산을위한 블록 다이어그램 대수
블록과 관련하여 합산 지점을 이동하는 두 가지 가능성이 있습니다.
- 블록 후 합산 지점 이동
- 블록 앞의 합산 지점 이동
이제 위의 두 가지 경우에 하나씩 어떤 종류의 준비가 필요한지 살펴 보겠습니다.
블록 후 합산 지점 이동
다음 그림에 표시된 블록 다이어그램을 고려하십시오. 여기에서 합산 지점은 블록 앞에 있습니다.
합산 점에는 $ R (s) $ 및 $ X (s) $ 두 개의 입력이 있습니다. 출력은 $ \ left \ {R (s) + X (s) \ right \} $입니다.
따라서 블록 $ G (s) $에 대한 입력은 $ \ left \ {R (s) + X (s) \ right \} $이고 그 출력은 –
$$ Y (s) = G (s) \ left \ {R (s) + X (s) \ right \} $$
$ \ 오른쪽 화살표 Y (s) = G (s) R (s) + G (s) X (s) $ (Equation 1)
이제 블록 뒤의 합산 지점을 이동하십시오. 이 블록 다이어그램은 다음 그림에 나와 있습니다.
$ G (s) $ 블록의 출력은 $ G (s) R (s) $입니다.
합산 점의 출력은 다음과 같습니다.
$ Y (s) = G (s) R (s) + X (s) $ (Equation 2)
방정식 1과 방정식 2를 비교합니다.
첫 번째 항 $ 'G (s) R (s)'$는 두 방정식에서 동일합니다. 그러나 두 번째 학기에 차이가 있습니다. 두 번째 학기도 동일하게하려면 $ G (s) $ 블록이 하나 더 필요합니다. 입력 $ X (s) $를 가지며이 블록의 출력은 $ X (s) $ 대신 합산 지점에 대한 입력으로 제공됩니다. 이 블록 다이어그램은 다음 그림에 나와 있습니다.
블록 앞의 합산 지점 이동
다음 그림에 표시된 블록 다이어그램을 고려하십시오. 여기에서 합산 지점은 블록 뒤에 있습니다.
이 블록 다이어그램의 출력은 다음과 같습니다.
$ Y (s) = G (s) R (s) + X (s) $ (Equation 3)
이제 합산 지점을 블록 앞으로 이동하십시오. 이 블록 다이어그램은 다음 그림에 나와 있습니다.
이 블록 다이어그램의 출력은 다음과 같습니다.
$ Y (S) = G (s) R (s) + G (s) X (s) $ (Equation 4)
방정식 3과 방정식 4를 비교하고,
첫 번째 항 $ 'G (s) R (s)'$는 두 방정식에서 동일합니다. 그러나 두 번째 학기에 차이가 있습니다. 두 번째 학기도 동일하게하려면 $ \ frac {1} {G (s)} $ 블록이 하나 더 필요합니다. 입력 $ X (s) $를 가지며이 블록의 출력은 $ X (s) $ 대신 합산 지점에 대한 입력으로 제공됩니다. 이 블록 다이어그램은 다음 그림에 나와 있습니다.
이륙 지점에 대한 블록 다이어그램 대수
블록과 관련하여 이륙 지점을 이동할 수있는 두 가지 가능성이 있습니다.
- 블록 후 이륙 지점 이동
- 블록 전 이륙 지점 이동
이제 위의 두 가지 경우에 하나씩, 어떤 종류의 준비를해야하는지 살펴 보겠습니다.
블록 후 이륙 지점 이동
다음 그림에 표시된 블록 다이어그램을 고려하십시오. 이 경우 이륙 지점은 블록 앞에 있습니다.
여기에서 $ X (s) = R (s) $ 및 $ Y (s) = G (s) R (s) $
블록 이후에 이륙 지점을 이동하면 출력 $ Y (s) $가 동일합니다. 그러나 $ X (s) $ 가치에는 차이가 있습니다. 따라서 동일한 $ X (s) $ 값을 얻으려면 $ \ frac {1} {G (s)} $ 블록이 하나 더 필요합니다. $ Y (s) $ 입력이 있고 출력은 $ X (s) $입니다. 이 블록 다이어그램은 다음 그림에 나와 있습니다.
블록 전 이륙 지점 이동
다음 그림에 표시된 블록 다이어그램을 고려하십시오. 여기에서 이륙 지점은 블록 뒤에 있습니다.
여기에서 $ X (s) = Y (s) = G (s) R (s) $
블록 앞의 이륙 지점을 이동하면 출력 $ Y (s) $가 동일합니다. 그러나 $ X (s) $ 가치에는 차이가 있습니다. 따라서 동일한 $ X (s) $ 값을 얻으려면 $ G (s) $ 블록이 하나 더 필요합니다. $ R (s) $ 입력이 있고 출력은 $ X (s) $입니다. 이 블록 다이어그램은 다음 그림에 나와 있습니다.
