제어 시스템-극좌표 플롯

이전 장에서 Bode 플롯에 대해 논의했습니다. 여기에는 주파수 함수로서 크기와 위상에 대한 두 개의 개별 플롯이 있습니다. 이제 극좌표에 대해 논의하겠습니다. 극좌표는 크기와 위상 사이에서 그릴 수있는 플롯입니다. 여기서 크기는 정상 값으로 만 표시됩니다.

$ G (j \ omega) H (j \ omega) $의 극 형식은 다음과 같습니다.

$$ G (j \ omega) H (j \ omega) = | G (j \ omega) H (j \ omega) | \ angle G (j \ omega) H (j \ omega) $$

그만큼 Polar plot$ \ omega $를 0에서 ∞까지 변경하여 $ G (j \ omega) H (j \ omega) $의 크기와 위상 각 사이에 그릴 수있는 플롯입니다. 극 그래프 시트는 다음 그림에 나와 있습니다.

이 그래프 시트는 동심원과 방사형 선으로 구성됩니다. 그만큼concentric circles 그리고 radial lines각각 크기와 위상 각을 나타냅니다. 이러한 각도는 반 시계 방향의 양수 값으로 표시됩니다. 마찬가지로 시계 방향으로 음수 값으로 각도를 나타낼 수 있습니다. 예를 들어, 시계 반대 방향 의 각도 270 ⁰ 은 시계 방향의 각도 −90 ⁰ 과 같습니다 .

극좌표 플롯을 그리기위한 규칙

극좌표를 플로팅하려면 다음 규칙을 따르십시오.

개 루프 전달 함수에서 $ s = j \ omega $를 대체합니다.
$ G (j \ omega) H (j \ omega) $의 크기와 위상에 대한 표현식을 작성합니다.
$ \ omega = 0 $를 대체하여 $ G (j \ omega) H (j \ omega) $의 시작 크기와 위상을 찾습니다. 따라서 극좌표는이 크기와 위상 각으로 시작됩니다.
$ \ omega = \ infty $를 대체하여 $ G (j \ omega) H (j \ omega) $의 끝 크기와 위상을 찾습니다. 따라서 극좌표는이 크기와 위상 각으로 끝납니다.
$ G (j \ omega) H (j \ omega) $의 허수 항을 0으로 만들어 극좌표가 실제 축과 교차하는지 확인하고 $ \ omega $의 값을 찾습니다.
$ G (j \ omega) H (j \ omega) $의 실수 항을 0으로하여 극좌표가 가상 축과 교차하는지 확인하고 $ \ omega $의 값을 찾습니다.
극좌표를 더 명확하게 그리기 위해 $ \ omega $의 다른 값을 고려하여 $ G (j \ omega) H (j \ omega) $의 크기와 위상을 찾습니다.

예

폐쇄 루프 제어 시스템의 개방 루프 전달 함수를 고려하십시오.

$$ G (s) H (s) = \ frac {5} {s (s + 1) (s + 2)} $$

위의 규칙을 사용하여이 제어 시스템의 극좌표를 그리겠습니다.

Step 1 − 개 루프 전달 함수에서 $ s = j \ omega $를 대입합니다.

$$ G (j \ omega) H (j \ omega) = \ frac {5} {j \ omega (j \ omega + 1) (j \ omega + 2)} $$

개방 루프 전달 함수의 크기는 다음과 같습니다.

$$ M = \ frac {5} {\ omega (\ sqrt {\ omega ^ 2 + 1}) (\ sqrt {\ omega ^ 2 + 4})} $$

개방 루프 전달 함수의 위상 각은 다음과 같습니다.

$$ \ phi = -90 ^ 0- \ tan ^ {-1} \ omega- \ tan ^ {-1} \ frac {\ omega} {2} $$

Step 2 − 다음 표는 $ \ omega = 0 $ rad / sec 및 $ \ omega = \ infty $ rad / sec에서 개방 루프 전달 함수의 크기와 위상 각을 보여줍니다.

주파수 (rad / sec)	크기	위상 각 (도)
0	∞	-90 또는 270
∞	0	-270 또는 90

따라서 극좌표 플롯은 (∞, −90 ⁰ )에서 시작하고 (0, −270 ⁰ ) 에서 끝납니다 . 괄호 안의 첫 번째와 두 번째 항은 각각 크기와 위상 각을 나타냅니다.

Step 3− 시작 및 끝 극좌표를 기반으로이 극좌표는 음의 실수 축과 교차합니다. 음의 실수 축에 해당하는 위상 각은 −180 ⁰ 또는 180 ⁰ 입니다. 따라서 개방 루프 전달 함수의 위상 각을 −180 ⁰ 또는 180 ⁰ 으로 동일시하면 $ \ omega $ 값을 $ \ sqrt {2} $로 얻을 수 있습니다.

개방 루프 전달 함수의 크기에 $ \ omega = \ sqrt {2} $를 대입하면 $ M = 0.83 $가됩니다. 따라서 극좌표는 $ \ omega = \ sqrt {2} $이고 극좌표가 (0.83, −180 ⁰ ) 일 때 음의 실수 축과 교차합니다 .

따라서 극좌표 시트에 위의 정보로 극좌표를 그릴 수 있습니다.