제어 시스템-상태 공간 모델
그만큼 state space model LTI (Linear Time-Invariant) 시스템은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
$$ \ dot {X} = AX + BU $$
$$ Y = CX + DU $$
첫 번째와 두 번째 방정식은 각각 상태 방정식과 출력 방정식으로 알려져 있습니다.
어디,
X와 $ \ dot {X} $는 각각 상태 벡터와 미분 상태 벡터입니다.
U와 Y는 각각 입력 벡터와 출력 벡터입니다.
A는 시스템 매트릭스입니다.
B와 C는 입력 및 출력 행렬입니다.
D는 피드 포워드 행렬입니다.
상태 공간 모델의 기본 개념
이 장과 관련된 다음 기본 용어입니다.
상태
미래 값 (출력)을 예측하기 위해 시스템의 이력을 요약하는 변수 그룹입니다.
상태 변수
필요한 상태 변수의 수는 시스템에있는 스토리지 요소의 수와 같습니다.
Examples − 인덕터를 통해 흐르는 전류, 커패시터 양단의 전압
상태 벡터
상태 변수를 요소로 포함하는 벡터입니다.
이전 장에서 우리는 제어 시스템의 두 가지 수학적 모델에 대해 논의했습니다. 그것들은 미분 방정식 모델과 전달 함수 모델입니다. 상태 공간 모델은이 두 가지 수학적 모델 중 하나에서 얻을 수 있습니다. 이제이 두 가지 방법을 하나씩 살펴 보겠습니다.
미분 방정식의 상태 공간 모델
다음 시리즈의 RLC 회로를 고려하십시오. 입력 전압 $ v_i (t) $가 있고 회로를 통해 흐르는 전류는 $ i (t) $입니다.
이 회로에는 두 개의 저장 요소 (인덕터와 커패시터)가 있습니다. 따라서 상태 변수의 수는 2 개이며 이러한 상태 변수는 인덕터를 통해 흐르는 전류 $ i (t) $와 커패시터 양단의 전압 $ v_c (t) $입니다.
회로에서 출력 전압 $ v_0 (t) $는 커패시터 양단 전압 $ v_c (t) $와 같습니다.
$$ v_0 (t) = v_c (t) $$
루프 주위에 KVL을 적용하십시오.
$$ v_i (t) = Ri (t) + L \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} + v_c (t) $$
$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} =-\ frac {Ri (t)} {L}-\ frac {v_c (t)} {L} + \ frac {v_i (t)} {L} $$
커패시터 양단의 전압은-
$$ v_c (t) = \ frac {1} {C} \ int i (t) dt $$
시간과 관련하여 위의 방정식을 미분하십시오.
$$ \ frac {\ text {d} v_c (t)} {\ text {d} t} = \ frac {i (t)} {C} $$
상태 벡터, $ X = \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} $
미분 상태 벡터, $ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} \\\ frac {\ text {d} v_c (t )} {\ text {d} t} \ end {bmatrix} $
미분 방정식과 출력 방정식을 상태 공간 모델의 표준 형식으로 배열 할 수 있습니다.
$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} \\\ frac {\ text {d} v_c (t)} { \ text {d} t} \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix}-\ frac {R} {L} &-\ frac {1} {L} \\\ frac {1} {C} & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} \ frac {1} {L} \\ 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix } v_i (t) \ end {bmatrix} $$
$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} $$
어디,
$$ A = \ begin {bmatrix}-\ frac {R} {L} &-\ frac {1} {L} \\\ frac {1} {C} & 0 \ end {bmatrix}, \ : B = \ begin {bmatrix} \ frac {1} {L} \\ 0 \ end {bmatrix}, \ : C = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ : 및 \ : D = \ begin {bmatrix } 0 \ end {bmatrix} $$
전달 함수의 상태 공간 모델
분자에있는 항의 유형에 따라 두 가지 유형의 전달 함수를 고려하십시오.
- 분자에 상수 항을 갖는 전달 함수.
- 분자에서 's'의 다항 함수를 갖는 전달 함수.
분자에서 상수 항을 갖는 전달 함수
시스템의 다음 전달 함수를 고려하십시오.
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {b_0} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1s + a_0} $ $
위 방정식을 다음과 같이 재정렬하십시오.
$$ (s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_0) Y (s) = b_0 U (s) $$
양쪽에 역 라플라스 변환을 적용합니다.
$$ \ frac {\ text {d} ^ ny (t)} {\ text {d} t ^ n} + a_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n-1} y (t )} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + a_1 \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} + a_0y (t) = b_0 u (t) $$
허락하다
$$ y (t) = x_1 $$
$$ \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$
$$ \ frac {\ text {d} ^ 2y (t)} {\ text {d} t ^ 2} = x_3 = \ dot {x} _2 $$
$$. $$
$$. $$
$$. $$
$$ \ frac {\ text {d} ^ {n-1} y (t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} = x_n = \ dot {x} _ {n-1} $ $
$$ \ frac {\ text {d} ^ ny (t)} {\ text {d} t ^ n} = \ dot {x} _n $$
및 $ u (t) = u $
그때,
$$ \ dot {x} _n + a_ {n-1} x_n + ... + a_1x_2 + a_0x_1 = b_0 u $$
위의 방정식에서 다음과 같은 상태 방정식을 작성할 수 있습니다.
$$ \ dot {x} _n = -a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + b_0 u $$
출력 방정식은 다음과 같습니다.
$$ y (t) = y = x_1 $$
상태 공간 모델은 다음과 같습니다.
$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \\\ vdots \\\ dot {x} _ {n-1} \\\ dot {x} _n \ end {bmatrix} $
$$ = \ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ dotso & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ dotso & 0 & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ dotso & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dotso & 0 & 1 \\-a_0 & -a_1 & -a_2 & \ dotso & -a_ {n-2} & -a_ {n-1} \ end {bmatrix } \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ b_0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u \ end {bmatrix} $$
$$ Y = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & \ dotso & 0 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$
여기에서 $ D = \ left [0 \ right]. $
예
전달 함수가있는 시스템의 상태 공간 모델을 찾으십시오.
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$
위의 방정식을 다음과 같이 재정렬하십시오.
$$ (s ^ 2 + s + 1) Y (s) = U (s) $$
양쪽에 역 라플라스 변환을 적용합니다.
$$ \ frac {\ text {d} ^ 2y (t)} {\ text {d} t ^ 2} + \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} + y (t) = u (t) $$
허락하다
$$ y (t) = x_1 $$
$$ \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$
및 $ u (t) = u $
그러면 상태 방정식은 다음과 같습니다.
$$ \ dot {x} _2 = -x_1-x_2 + u $$
출력 방정식은 다음과 같습니다.
$$ y (t) = y = x_1 $$
상태 공간 모델은
$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\-1 & -1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} \ left [u \ right] $$
$$ Y = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$
분자에서 's'의 다항 함수를 갖는 전달 함수
시스템의 다음 전달 함수를 고려하십시오.
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {b_n s ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ left (\ frac {1} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} \ 오른쪽) (b_n s ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0) $$
위의 방정식은 계단식으로 연결된 두 블록의 전달 함수의 곱 형태입니다.
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ left (\ frac {V (s)} {U (s)} \ right) \ left (\ frac {Y (s)} {V (s)} \ 오른쪽) $$
여기,
$$ \ frac {V (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} $$
위 방정식을 다음과 같이 재정렬하십시오.
$$ (s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_0) V (s) = U (s) $$
양쪽에 역 라플라스 변환을 적용합니다.
$$ \ frac {\ text {d} ^ nv (t)} {\ text {d} t ^ n} + a_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n-1} v (t )} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + a_1 \ frac {\ text {d} v (t)} {\ text {d} t} + a_0v (t) = u (t) $$
허락하다
$$ v (t) = x_1 $$
$$ \ frac {\ text {d} v ((t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$
$$ \ frac {\ text {d} ^ 2v (t)} {\ text {d} t ^ 2} = x_3 = \ dot {x} _2 $$
$$. $$
$$. $$
$$. $$
$$ \ frac {\ text {d} ^ {n-1} v (t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} = x_n = \ dot {x} _ {n-1} $ $
$$ \ frac {\ text {d} ^ nv (t)} {\ text {d} t ^ n} = \ dot {x} _n $$
및 $ u (t) = u $
그러면 상태 방정식은 다음과 같습니다.
$$ \ dot {x} _n = -a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + u $$
중히 여기다,
$$ \ frac {Y (s)} {V (s)} = b_ns ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0 $$
위 방정식을 다음과 같이 재정렬하십시오.
$$ Y (s) = (b_ns ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0) V (s) $$
양쪽에 역 라플라스 변환을 적용합니다.
$$ y (t) = b_n \ frac {\ text {d} ^ nv (t)} {\ text {d} t ^ n} + b_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n -1} v (t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + b_1 \ frac {\ text {d} v (t)} {\ text {d} t} + b_0v (t) $$
위 방정식에서 상태 변수와 $ y (t) = y $를 대체하면 다음과 같은 출력 방정식을 얻을 수 있습니다.
$$ y = b_n \ dot {x} _n + b_ {n-1} x_n + ... + b_1x_2 + b_0x_1 $$
위 방정식에서 $ \ dot {x} _n $ 값을 대입합니다.
$$ y = b_n (-a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + u) + b_ {n-1} x_n + ... + b_1x_2 + b_0x_1 $$
$$ y = (b_0-b_na_0) x_1 + (b_1-b_na_1) x_2 + ... + (b_ {n-1} -b_na_ {n-1}) x_n + b_n u $$
상태 공간 모델은
$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \\\ vdots \\\ dot {x} _ {n-1} \\\ dot {x} _n \ end {bmatrix} $
$$ = \ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ dotso & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ dotso & 0 & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ dotso & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dotso & 0 & 1 \\-a_0 & -a_1 & -a_2 & \ dotso & -a_ {n-2} & -a_ {n-1} \ end {bmatrix } \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ b_0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u \ end {bmatrix} $$
$$ Y = [b_0-b_na_0 \ quad b_1-b_na_1 \ quad ... \ quad b_ {n-2} -b_na_ {n-2} \ quad b_ {n-1} -b_na_ {n-1}] \ 시작 {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$
$ b_n = 0 $이면
$$ Y = [b_0 \ quad b_1 \ quad ... \ quad b_ {n-2} \ quad b_ {n-1}] \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n- 1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$