제어 시스템-수학적 모델

제어 시스템은 다음과 같은 일련의 수학 방정식으로 나타낼 수 있습니다. mathematical model. 이 모델은 제어 시스템의 분석 및 설계에 유용합니다. 제어 시스템의 분석은 입력 및 수학적 모델을 알 때 출력을 찾는 것을 의미합니다. 제어 시스템의 설계는 입력과 출력을 알 때 수학적 모델을 찾는 것을 의미합니다.

다음과 같은 수학적 모델이 주로 사용됩니다.

  • 미분 방정식 모델
  • 전달 함수 모델
  • 상태 공간 모델

이 장에서 처음 두 가지 모델에 대해 설명하겠습니다.

미분 방정식 모델

미분 방정식 모델은 제어 시스템의 시간 도메인 수학적 모델입니다. 미분 방정식 모델의 경우 다음 단계를 따르십시오.

  • 주어진 제어 시스템에 기본 법칙을 적용하십시오.

  • 중간 변수를 제거하여 입력 및 출력 측면에서 미분 방정식을 얻습니다.

다음 그림에 표시된대로 다음 전기 시스템을 고려하십시오. 이 회로는 저항, 인덕터 및 커패시터로 구성됩니다. 이 모든 전기 요소는series. 이 회로에 적용된 입력 전압은 $ v_i $이고 커패시터 양단의 전압은 출력 전압 $ v_o $입니다.

이 회로에 대한 메시 방정식은 다음과 같습니다.

$$ v_i = Ri + L \ frac {\ text {d} i} {\ text {d} t} + v_o $$

위 방정식에서 커패시터 $ i = c \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} $를 통과하는 전류를 대체합니다.

$$ \ Rightarrow \ : v_i = RC \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} + LC \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + v_o $$

$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + \ left (\ frac {R} {L} \ right) \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_o = \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_i $$

위의 방정식은 2 차입니다 differential equation.

전달 함수 모델

전달 함수 모델은 제어 시스템의 S 영역 수학적 모델입니다. 그만큼Transfer function LTI (Linear Time Invariant) 시스템의 경우 모든 초기 조건이 0이라고 가정하여 출력의 라플라스 변환과 입력의 라플라스 변환의 비율로 정의됩니다.

$ x (t) $ 및 $ y (t) $가 LTI 시스템의 입력 및 출력 인 경우 해당 Laplace 변환은 $ X (s) $ 및 $ Y (s) $입니다.

따라서 LTI 시스템의 전달 함수는 $ Y (s) $와 $ X (s) $의 비율과 같습니다.

$$ ie, \ : 전송 \ : 기능 = \ frac {Y (s)} {X (s)} $$

LTI 시스템의 전달 함수 모델은 다음 그림에 나와 있습니다.

여기에서는 내부에 전달 함수가있는 블록이있는 LTI 시스템을 나타냅니다. 그리고이 블록에는 $ X (s) $ 입력 및 $ Y (s) $ 출력이 있습니다.

이전에 우리는 전기 시스템의 미분 방정식을 다음과 같이 얻었습니다.

$$ \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + \ left (\ frac {R} {L} \ right) \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_o = \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_i $$

양쪽에 라플라스 변환을 적용합니다.

$$ s ^ 2V_o (s) + \ left (\ frac {sR} {L} \ right) V_o (s) + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) V_o (s) = \ left ( \ frac {1} {LC} \ right) V_i (s) $$

$$ \ Rightarrow \ left \ {s ^ 2 + \ left (\ frac {R} {L} \ right) s + \ frac {1} {LC} \ right \} V_o (s) = \ left (\ frac { 1} {LC} \ 오른쪽) V_i (s) $$

$$ \ Rightarrow \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ frac {\ frac {1} {LC}} {s ^ 2 + \ left (\ frac {R} {L} \ right) s + \ frac {1} {LC}} $$

어디,

  • $ v_i (s) $는 입력 전압 $ v_i $의 라플라스 변환입니다.

  • $ v_o (s) $는 출력 전압 $ v_o $의 라플라스 변환입니다.

위의 방정식은 transfer function2 차 전기 시스템의. 이 시스템의 전달 함수 모델은 다음과 같습니다.

여기에서는 내부에 전달 함수가있는 블록이있는 2 차 전기 시스템을 보여줍니다. 그리고이 블록에는 입력 $ V_i (s) $ 및 출력 $ V_o (s) $가 있습니다.