제어 시스템-수학적 모델
제어 시스템은 다음과 같은 일련의 수학 방정식으로 나타낼 수 있습니다. mathematical model. 이 모델은 제어 시스템의 분석 및 설계에 유용합니다. 제어 시스템의 분석은 입력 및 수학적 모델을 알 때 출력을 찾는 것을 의미합니다. 제어 시스템의 설계는 입력과 출력을 알 때 수학적 모델을 찾는 것을 의미합니다.
다음과 같은 수학적 모델이 주로 사용됩니다.
- 미분 방정식 모델
- 전달 함수 모델
- 상태 공간 모델
이 장에서 처음 두 가지 모델에 대해 설명하겠습니다.
미분 방정식 모델
미분 방정식 모델은 제어 시스템의 시간 도메인 수학적 모델입니다. 미분 방정식 모델의 경우 다음 단계를 따르십시오.
주어진 제어 시스템에 기본 법칙을 적용하십시오.
중간 변수를 제거하여 입력 및 출력 측면에서 미분 방정식을 얻습니다.
예
다음 그림에 표시된대로 다음 전기 시스템을 고려하십시오. 이 회로는 저항, 인덕터 및 커패시터로 구성됩니다. 이 모든 전기 요소는series. 이 회로에 적용된 입력 전압은 $ v_i $이고 커패시터 양단의 전압은 출력 전압 $ v_o $입니다.
이 회로에 대한 메시 방정식은 다음과 같습니다.
$$ v_i = Ri + L \ frac {\ text {d} i} {\ text {d} t} + v_o $$
위 방정식에서 커패시터 $ i = c \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} $를 통과하는 전류를 대체합니다.
$$ \ Rightarrow \ : v_i = RC \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} + LC \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + v_o $$
$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + \ left (\ frac {R} {L} \ right) \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_o = \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_i $$
위의 방정식은 2 차입니다 differential equation.
전달 함수 모델
전달 함수 모델은 제어 시스템의 S 영역 수학적 모델입니다. 그만큼Transfer function LTI (Linear Time Invariant) 시스템의 경우 모든 초기 조건이 0이라고 가정하여 출력의 라플라스 변환과 입력의 라플라스 변환의 비율로 정의됩니다.
$ x (t) $ 및 $ y (t) $가 LTI 시스템의 입력 및 출력 인 경우 해당 Laplace 변환은 $ X (s) $ 및 $ Y (s) $입니다.
따라서 LTI 시스템의 전달 함수는 $ Y (s) $와 $ X (s) $의 비율과 같습니다.
$$ ie, \ : 전송 \ : 기능 = \ frac {Y (s)} {X (s)} $$
LTI 시스템의 전달 함수 모델은 다음 그림에 나와 있습니다.
여기에서는 내부에 전달 함수가있는 블록이있는 LTI 시스템을 나타냅니다. 그리고이 블록에는 $ X (s) $ 입력 및 $ Y (s) $ 출력이 있습니다.
예
이전에 우리는 전기 시스템의 미분 방정식을 다음과 같이 얻었습니다.
$$ \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + \ left (\ frac {R} {L} \ right) \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_o = \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_i $$
양쪽에 라플라스 변환을 적용합니다.
$$ s ^ 2V_o (s) + \ left (\ frac {sR} {L} \ right) V_o (s) + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) V_o (s) = \ left ( \ frac {1} {LC} \ right) V_i (s) $$
$$ \ Rightarrow \ left \ {s ^ 2 + \ left (\ frac {R} {L} \ right) s + \ frac {1} {LC} \ right \} V_o (s) = \ left (\ frac { 1} {LC} \ 오른쪽) V_i (s) $$
$$ \ Rightarrow \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ frac {\ frac {1} {LC}} {s ^ 2 + \ left (\ frac {R} {L} \ right) s + \ frac {1} {LC}} $$
어디,
$ v_i (s) $는 입력 전압 $ v_i $의 라플라스 변환입니다.
$ v_o (s) $는 출력 전압 $ v_o $의 라플라스 변환입니다.
위의 방정식은 transfer function2 차 전기 시스템의. 이 시스템의 전달 함수 모델은 다음과 같습니다.
여기에서는 내부에 전달 함수가있는 블록이있는 2 차 전기 시스템을 보여줍니다. 그리고이 블록에는 입력 $ V_i (s) $ 및 출력 $ V_o (s) $가 있습니다.