제어 시스템-Nyquist 플롯
Nyquist 플롯은 ω를 −∞에서 ∞로 변경하여 폐 루프 제어 시스템의 안정성을 찾기위한 극 플롯의 연속입니다. 즉, Nyquist 플롯은 개방 루프 전달 함수의 완전한 주파수 응답을 그리는 데 사용됩니다.
나이 퀴 스트 안정성 기준
Nyquist 안정성 기준은 principle of argument. P 극이 있고 Z 0이 's'평면 폐쇄 경로로 둘러싸인 경우 해당 $ G (s) H (s) $ 평면이 원점 $ P − Z $를 둘러싸 야합니다. 그래서 우리는 둘러싸 기 N의 수를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$ N = PZ $$
동봉 된 's'평면 폐쇄 경로에 극만 포함 된 경우 $ G (s) H (s) $ 평면에서 둘러싸는 방향은 's'평면에서 폐쇄 된 경로의 방향과 반대가됩니다.
동봉 된 's'평면 폐쇄 경로에 0 만 포함 된 경우 $ G (s) H (s) $ 평면의 둘러싸는 방향은 's'에 포함 된 폐쇄 경로의 방향과 동일합니다. 비행기.
이제 's'평면을 닫힌 경로로 선택하여 's'평면의 전체 오른쪽 절반에 인수의 원리를 적용 해 보겠습니다. 이 선택된 경로를Nyquist 윤곽.
폐 루프 전달 함수의 모든 극이 's'평면의 왼쪽 절반에 있으면 폐 루프 제어 시스템이 안정적이라는 것을 알고 있습니다. 따라서 폐 루프 전달 함수의 극점은 특성 방정식의 근본 일뿐입니다. 특성 방정식의 차수가 증가함에 따라 근을 찾기가 어렵습니다. 따라서 다음과 같이 특성 방정식의 이러한 뿌리를 연관시켜 보겠습니다.
특성 방정식의 극점은 개방 루프 전달 함수의 극점과 동일합니다.
특성 방정식의 0은 폐 루프 전달 함수의 극점과 동일합니다.
's'평면의 오른쪽 절반에 개방 루프 극이없는 경우 개방 루프 제어 시스템이 안정적이라는 것을 알고 있습니다.
즉, $ P = 0 \ Rightarrow N = -Z $
's'평면의 오른쪽 절반에 폐쇄 루프 극이 없으면 폐쇄 루프 제어 시스템이 안정적이라는 것을 알고 있습니다.
즉, $ Z = 0 \ Rightarrow N = P $
Nyquist stability criterion임계점 (1 + j0)에 대한 둘러싸 기의 수는 's'평면의 오른쪽 절반에있는 개방 루프 전달 함수의 극에 불과한 특성 방정식의 극과 같아야합니다. 원점에서 (1 + j0) 로의 이동은 특성 방정식 평면을 제공합니다.
Nyquist 플롯 그리기 규칙
Nyquist 플롯을 플로팅하려면 다음 규칙을 따르십시오.
's'평면에서 개방 루프 전달 함수 $ G (s) H (s) $의 극점과 영점을 찾습니다.
$ \ omega $를 0에서 무한대로 변경하여 극좌표를 그립니다. s = 0에 극 또는 0이 존재하는 경우 극좌표를 그리기 위해 $ \ omega $를 0+에서 무한대로 변경합니다.
-∞에서 제로 범위 $ \ $ 오메가의 값 극성 플롯 위의 미러 이미지를 그릴 (0 - 만약 있다면 극 또는 S = 0에서 0 본).
무한 반경 반원의 수는 원점의 극 수 또는 0과 같습니다. 무한 반경 반원은 극좌표의 미러 이미지가 끝나는 지점에서 시작됩니다. 그리고이 무한 반경 반원은 극좌표가 시작되는 지점에서 끝납니다.
Nyquist 플롯을 그린 후 Nyquist 안정성 기준을 사용하여 폐쇄 루프 제어 시스템의 안정성을 찾을 수 있습니다. 임계점 (-1 + j0)이 외곽선 밖에 있으면 폐쇄 루프 제어 시스템이 절대적으로 안정적입니다.
나이 퀴 스트 플롯을 사용한 안정성 분석
Nyquist 플롯에서 이러한 매개 변수의 값을 기반으로 제어 시스템이 안정적인지, 약간 안정적인지 또는 불안정한지를 식별 할 수 있습니다.
- 주파수에 대한 교차 주파수 및 주파수에 대한 위상 교차 이득
- 이익 마진 및 위상 마진
주파수에 대한 위상 교차
Nyquist 플롯이 음의 실수 축과 교차하는 주파수 (위상 각은 180 0 )는 다음과 같이 알려져 있습니다.phase cross over frequency. $ \ omega_ {pc} $로 표시됩니다.
주파수를 통한 이득 교차
Nyquist 플롯이 1의 크기를 갖는 주파수는 gain cross over frequency. $ \ omega_ {gc} $로 표시됩니다.
주파수에 대한 위상 교차와 주파수에 대한 이득 교차 사이의 관계에 기반한 제어 시스템의 안정성은 다음과 같습니다.
주파수 $ \ omega_ {pc} $에 대한 위상 교차가 주파수 $ \ omega_ {gc} $에 대한 이득 교차보다 크면 제어 시스템은 stable.
주파수 $ \ omega_ {pc} $에 대한 위상 교차가 주파수 $ \ omega_ {gc} $에 대한 이득 교차와 같으면 제어 시스템은 다음과 같습니다. marginally stable.
주파수 $ \ omega_ {pc} $에 대한 위상 교차가 주파수 $ \ omega_ {gc} $에 대한 이득 교차보다 작 으면 제어 시스템은 unstable.
이익 마진
이득 마진 $ GM $는 위상 교차 주파수에서 Nyquist 플롯 크기의 역수와 같습니다.
$$ GM = \ frac {1} {M_ {pc}} $$
여기서 $ M_ {pc} $는 위상 교차 주파수에서 정상 스케일의 크기입니다.
위상 마진
위상 마진 $ PM $은 180 0 과 게인 크로스 오버 주파수에서의 위상 각 의 합과 같습니다 .
$$ PM = 180 ^ 0 + \ phi_ {gc} $$
여기서 $ \ phi_ {gc} $는 게인 크로스 오버 주파수에서의 위상 각입니다.
게인 마진과 위상 마진의 관계에 따른 제어 시스템의 안정성은 다음과 같습니다.
이득 마진 $ GM $가 1보다 크고 위상 마진 $ PM $이 양수이면 제어 시스템은 stable.
게인 마진 $ GM $이 1이고 위상 마진 $ PM $이 0도이면 제어 시스템은 marginally stable.
게인 마진 $ GM $이 1 미만이고 / 또는 위상 마진 $ PM $이 음수이면 제어 시스템은 unstable.