제어 시스템-정상 상태 오류

정상 상태에서 원하는 응답에서 제어 시스템의 출력 편차는 다음과 같이 알려져 있습니다. steady state error. $ e_ {ss} $로 표시됩니다. 다음과 같이 최종 값 정리를 사용하여 정상 상태 오류를 찾을 수 있습니다.

$$ e_ {ss} = \ lim_ {t \ to \ infty} e (t) = \ lim_ {s \ to 0} sE (s) $$

어디,

E (s)는 오류 신호 $ e (t) $의 라플라스 변환입니다.

유니티 피드백 및 비 유니티 피드백 제어 시스템에 대한 정상 상태 오류를 하나씩 찾는 방법에 대해 논의하겠습니다.

Unity 피드백 시스템의 정상 상태 오류

유니티 네거티브 피드백을 갖는 폐쇄 루프 제어 시스템의 다음 블록 다이어그램을 고려하십시오.

어디,

• R (s)는 참조 입력 신호 $ r (t) $의 라플라스 변환입니다.
• C (s)는 출력 신호 $ c (t) $의 라플라스 변환입니다.

우리는 단일 네거티브 피드백 폐쇄 루프 제어 시스템의 전달 함수를 다음과 같이 알고 있습니다.

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {G (s)} {1 + G (s)} $$

$$ \ 오른쪽 화살표 C (s) = \ frac {R (s) G (s)} {1 + G (s)} $$

합산 점의 출력은 다음과 같습니다.

$$ E (s) = R (s) -C (s) $$

위 방정식에서 $ C (s) $ 값을 대체하십시오.

$$ E (s) = R (s)-\ frac {R (s) G (s)} {1 + G (s)} $$

$$ \ 오른쪽 화살표 E (s) = \ frac {R (s) + R (s) G (s) -R (s) G (s)} {1 + G (s)} $$

$$ \ 오른쪽 화살표 E (s) = \ frac {R (s)} {1 + G (s)} $$

정상 상태 오류 공식에서 $ E (s) $ 값 대체

$$ e_ {ss} = \ lim_ {s \ ~ 0} \ frac {sR (s)} {1 + G (s)} $$

다음 표는 단위 단계, 단위 램프 및 단위 포물선 신호와 같은 표준 입력 신호에 대한 정상 상태 오류 및 오류 상수를 보여줍니다.

입력 신호	정상 상태 오류 $ e_ {ss} $	오류 상수
단위 단계 신호	$ \ frac {1} {1 + k_p} $	$ K_p = \ lim_ {s \ to 0} G (s) $
단위 램프 신호	$ \ frac {1} {K_v} $	$ K_v = \ lim_ {s \ to 0} sG (s) $
단위 포물선 신호	$ \ frac {1} {K_a} $	$ K_a = \ lim_ {s \ to 0} s ^ 2G (s) $

여기서 $ K_p $, $ K_v $ 및 $ K_a $는 각각 위치 오류 상수, 속도 오류 상수 및 가속 오류 상수입니다.

Note − 위의 입력 신호 중 하나가 단위가 아닌 진폭을 갖는 경우 해당하는 정상 상태 오류를 해당 진폭과 곱하십시오.

Note− 원점에만 존재하기 때문에 단위 임펄스 신호에 대한 정상 상태 오류를 정의 할 수 없습니다. 따라서 임펄스 응답을 단위 임펄스 입력과 비교할 수 없습니다.t 무한대를 나타냅니다.

예

$ G를 사용하는 단일 네거티브 피드백 제어 시스템의 입력 신호 $ r (t) = \ left (5 + 2t + \ frac {t ^ 2} {2} \ right) u (t) $에 대한 정상 상태 오류를 찾아 보겠습니다. (s) = \ frac {5 (s + 4)} {s ^ 2 (s + 1) (s + 20)} $

주어진 입력 신호는 3 단계 신호, 램프 및 포물선의 조합입니다. 다음 표는이 세 가지 신호에 대한 오류 상수 및 정상 상태 오류 값을 보여줍니다.

입력 신호	오류 상수	정상 상태 오류
$ r_1 (t) = 5u (t) $	$ K_p = \ lim_ {s \ to 0} G (s) = \ infty $	$ e_ {ss1} = \ frac {5} {1 + k_p} = 0 $
$ r_2 (t) = 2tu (t) $	$ K_v = \ lim_ {s \ to 0} sG (s) = \ infty $	$ e_ {ss2} = \ frac {2} {K_v} = 0 $
$ r_3 (t) = \ frac {t ^ 2} {2} u (t) $	$ K_a = \ lim_ {s \ to 0} s ^ 2G (s) = 1 $	$ e_ {ss3} = \ frac {1} {k_a} = 1 $

위의 세 가지 정상 상태 오류를 추가하여 전체 정상 상태 오류를 얻습니다.

$$ e_ {ss} = e_ {ss1} + e_ {ss2} + e_ {ss3} $$

$$ \ 오른쪽 화살표 e_ {ss} = 0 + 0 + 1 = 1 $$

따라서 정상 상태 오류 $ e_ {ss} $가 발생했습니다. 1 이 예에서는.

비 -Unity 피드백 시스템에 대한 정상 상태 오류

불일치 네거티브 피드백이있는 폐쇄 루프 제어 시스템의 다음 블록 다이어그램을 고려하십시오.

유니티 피드백 시스템에 대해서만 정상 상태 오류를 찾을 수 있습니다. 그래서 우리는 비-유니티 피드백 시스템을 유니티 피드백 시스템으로 변환해야합니다. 이를 위해 위의 블록 다이어그램에 하나의 유니티 포지티브 피드백 경로와 하나의 유니티 네거티브 피드백 경로를 포함하십시오. 새로운 블록 다이어그램은 아래와 같습니다.

유니티 네거티브 피드백을 그대로 유지하여 위의 블록 다이어그램을 단순화하십시오. 다음은 단순화 된 블록 다이어그램입니다.

이 블록 다이어그램은 유니티 네거티브 피드백 폐쇄 루프 제어 시스템의 블록 다이어그램과 유사합니다. 여기서 단일 블록은 $ G (s) $ 대신 $ \ frac {G (s)} {1 + G (s) H (s) -G (s)} $ 전달 함수를 갖습니다. 이제 유니티 네거티브 피드백 시스템에 대해 제공된 정상 상태 오류 공식을 사용하여 정상 상태 오류를 계산할 수 있습니다.

Note− 불안정한 폐쇄 루프 시스템에서 정상 상태 오류를 찾는 것은 의미가 없습니다. 따라서 폐쇄 루프 안정 시스템에 대해서만 정상 상태 오류를 계산해야합니다. 즉, 정상 상태 오류를 찾기 전에 제어 시스템이 안정적인지 여부를 확인해야합니다. 다음 장에서는 개념 관련 안정성에 대해 설명합니다.