제어 시스템-상태 공간 분석

이전 장에서 우리는 미분 방정식과 전달 함수에서 상태 공간 모델을 얻는 방법을 배웠습니다. 이 장에서는 상태 공간 모델에서 전달 함수를 얻는 방법에 대해 설명합니다.

상태 공간 모델에서 전달 함수

LTI (Linear Time-Invariant) 시스템의 상태 공간 모델은 다음과 같습니다.

$$ \ dot {X} = AX + BU $$

$$ Y = CX + DU $$

상태 방정식의 양쪽에 라플라스 변환을 적용합니다.

$$ sX (s) = AX (s) + BU (s) $$

$$ \ 오른쪽 화살표 (sI-A) X (s) = BU (s) $$

$$ \ 오른쪽 화살표 X (s) = (sI-A) ^ {-1} BU (s) $$

출력 방정식의 양쪽에 라플라스 변환을 적용합니다.

$$ Y (s) = CX (s) + DU (s) $$

위 방정식에서 X (s) 값을 대입합니다.

$$ \ 오른쪽 화살표 Y (s) = C (sI-A) ^ {-1} BU (s) + DU (s) $$

$$ \ 오른쪽 화살표 Y (s) = [C (sI-A) ^ {-1} B + D] U (s) $$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {-1} B + D $$

위의 방정식은 시스템의 전달 함수를 나타냅니다. 따라서 상태 공간 모델에 표시된 시스템에 대해이 공식을 사용하여 시스템의 전달 함수를 계산할 수 있습니다.

Note − $ D = [0] $ 일 때 전달 함수는

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {-1} B $$

Example

상태 공간 모델에 표시된 시스템의 전달 함수를 다음과 같이 계산해 보겠습니다.

$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} [u] $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$

여기,

$$ A = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}, \ quad B = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}, \ quad C = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ quad 및 \ quad D = [0] $$

$ D = [0] $ 일 때 전달 함수의 공식은-

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {-1} B $$

위의 방정식에서 A, B & C 행렬을 대체하십시오.

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} s + 1 & 1 \\-1 & s \ end {bmatrix } ^ {-1} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ frac {\ begin {bmatrix} s & -1 \\ 1 & s + 1 \ end {bmatrix}} {(s + 1) s-1 (-1)} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} s \\ 1 \ end {bmatrix}} {s ^ 2 + s + 1} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$

따라서 주어진 상태 공간 모델에 대한 시스템의 전달 함수는 다음과 같습니다.

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$

상태 전이 매트릭스 및 속성

시스템에 초기 조건이있는 경우 출력을 생성합니다. 이 출력은 입력이 없어도 존재하므로zero input response$ x_ {ZIR} (t) $. 수학적으로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$ x_ {ZIR} (t) = e ^ {At} X (0) = L ^ {-1} \ left \ {\ left [sI-A \ right] ^ {-1} X (0) \ right \} $$

위의 관계에서 상태 전이 행렬 $ \ phi (t) $를 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

$$ \ phi (t) = e ^ {At} = L ^ {-1} [sI-A] ^ {-1} $$

따라서 제로 입력 응답은 상태 전이 행렬 $ \ phi (t) $에 초기 조건 행렬을 곱하여 얻을 수 있습니다.

다음은 상태 전환 매트릭스의 속성입니다.

$ t = 0 $이면 상태 전이 행렬은 단위 행렬과 같습니다.

$$ \ 파이 (0) = I $$
상태 전이 행렬의 역행렬은 't'를 '-t'로 바꿈으로써 상태 전이 행렬과 동일합니다.

$$ \ phi ^ {-1} (t) = \ phi (−t) $$
$ t = t_1 + t_2 $이면 해당 상태 전이 행렬은 $ t = t_1 $ 및 $ t = t_2 $에서 두 상태 전이 행렬의 곱과 같습니다.

$$ \ phi (t_1 + t_2) = \ phi (t_1) \ phi (t_2) $$

제어 가능성 및 관찰 가능성

이제 제어 시스템의 제어 가능성과 관찰 가능성을 하나씩 살펴 보겠습니다.

제어 가능성

제어 시스템은 controllable 제어 시스템의 초기 상태가 제한된 시간 동안 제어 된 입력에 의해 다른 원하는 상태로 전송 (변경)되는 경우.

제어 시스템의 제어 가능성은 다음을 사용하여 확인할 수 있습니다. Kalman’s test.

다음 형식으로 행렬 $ Q_c $를 작성합니다.

$$ Q_c = \ left [B \ quad AB \ quad A ^ 2B \ quad ... \ quad A ^ {n-1} B \ right] $$
행렬 $ Q_c $의 행렬식을 구하고 0이 아니면 제어 시스템을 제어 할 수 있습니다.

관찰 가능성

제어 시스템은 observable 제한된 시간 동안 출력을 관찰하여 제어 시스템의 초기 상태를 결정할 수 있는지 여부.

다음을 사용하여 제어 시스템의 관찰 가능성을 확인할 수 있습니다. Kalman’s test.

다음 형식으로 행렬 $ Q_o $를 작성합니다.

$$ Q_o = \ left [C ^ T \ quad A ^ TC ^ T \ quad (A ^ T) ^ 2C ^ T \ quad ... \ quad (A ^ T) ^ {n-1} C ^ T \ 오른쪽] $$
행렬 $ Q_o $의 행렬식을 찾아 0이 아니면 제어 시스템을 관찰 할 수 있습니다.

Example

상태 공간 모델에서 다음과 같이 표현되는 제어 시스템의 제어 가능성과 관찰 가능성을 확인하겠습니다.

$$ \ dot {x} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} [u] $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$

여기,

$$ A = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}, \ quad B = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}, \ quad \ begin {bmatrix } 0 & 1 \ end {bmatrix}, D = [0] \ quad 및 \ quad n = 2 $$

$ n = 2 $ 인 경우 행렬 $ Q_c $는

$$ Q_c = \ left [B \ quad AB \ right] $$

우리는 행렬 A와 B의 곱을 다음과 같이 얻을 것입니다.

$$ AB = \ begin {bmatrix} -1 \\ 1 \ end {bmatrix} $$

$$ \ Rightarrow Q_c = \ begin {bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} $$

$$ | Q_c | = 1 \ neq 0 $$

행렬 $ Q_c $의 행렬식이 0이 아니기 때문에 주어진 제어 시스템을 제어 할 수 있습니다.

$ n = 2 $ 인 경우 행렬 $ Q_o $는-

$$ Q_o = \ left [C ^ T \ quad A ^ TC ^ T \ right] $$

여기,

$$ A ^ T = \ begin {bmatrix} -1 & 1 \\-1 & 0 \ end {bmatrix} \ quad 및 \ quad C ^ T = \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} $ $

우리는 행렬 $ A ^ T $와 $ C ^ T $의 곱을 다음과 같이 얻을 것입니다.