제어 시스템-안정성 분석

이 장에서는 안정성 분석에 대해 논의하겠습니다. ‘s’RouthHurwitz 안정성 기준을 사용하는 도메인. 이 기준에서는 폐쇄 루프 제어 시스템의 안정성을 찾기 위해 특성 방정식이 필요합니다.

Routh-Hurwitz 안정성 기준

Routh-Hurwitz 안정성 기준에는 하나의 필수 조건과 안정성을위한 충분한 조건이 있습니다. 제어 시스템이 필요한 조건을 충족하지 않으면 제어 시스템이 불안정하다고 말할 수 있습니다. 그러나 제어 시스템이 필요한 조건을 충족하면 안정적 일 수도 있고 아닐 수도 있습니다. 따라서 충분한 조건은 제어 시스템이 안정적인지 여부를 파악하는 데 도움이됩니다.

Routh-Hurwitz 안정성에 필요한 조건

필요한 조건은 특성 다항식의 계수가 양수 여야한다는 것입니다. 이것은 특성 방정식의 모든 근이 음의 실수 부분을 가져야 함을 의미합니다.

주문 'n'의 특성 방정식을 고려하십시오.

$$ a_0s ^ n + a_1s ^ {n-1} + a_2s ^ {n-2} + ... + a_ {n-1} s ^ 1 + a_ns ^ 0 = 0 $$

여기에 누락 된 용어가 없어야합니다. n^th주문 특성 방정식. 이것은n^th 차수 특성 방정식은 값이 0 인 계수를 가져서는 안됩니다.

Routh-Hurwitz 안정성을위한 충분한 조건

충분한 조건은 Routh 배열의 첫 번째 열에있는 모든 요소가 동일한 부호를 가져야한다는 것입니다. 즉, Routh 배열의 첫 번째 열에있는 모든 요소는 양수 또는 음수 여야합니다.

Routh 배열 방법

특성 방정식의 모든 근이 's'평면의 왼쪽 절반에 존재하면 제어 시스템이 안정적입니다. 's'평면의 오른쪽 절반에 특성 방정식의 근이 하나 이상 있으면 제어 시스템이 불안정합니다. 따라서 제어 시스템이 안정적인지 불안정한 지 알기 위해 특성 방정식의 근본을 찾아야합니다. 그러나 차수가 증가함에 따라 특성 방정식의 근본을 찾는 것은 어렵다.

그래서,이 문제를 극복하기 위해 우리는 Routh array method. 이 방법에서는 특성 방정식의 근을 계산할 필요가 없습니다. 먼저 Routh 테이블을 공식화하고 Routh 테이블의 첫 번째 열에서 부호 변경 횟수를 찾습니다. Routh 테이블의 첫 번째 열에있는 부호 변화 수는 's'평면의 오른쪽 절반에 존재하는 특성 방정식의 근 수를 제공하며 제어 시스템이 불안정합니다.

Routh 테이블을 구성하려면 다음 절차를 따르십시오.

• Routh 배열의 처음 두 행을 아래 표에 언급 된 특성 다항식의 계수로 채 웁니다. $ s ^ n $ 계수로 시작하여 $ s ^ 0 $ 계수까지 계속합니다.

• Routh 배열의 나머지 행을 아래 표에 언급 된 요소로 채 웁니다. 첫 번째 열 요소를 얻을 때까지이 프로세스를 계속하십시오.row $s^0$$ a_n $입니다. 여기서 $ a_n $은 특성 다항식의 $ s ^ 0 $ 계수입니다.

Note − Routh 테이블의 행 요소에 공통 인자가있는 경우 단순화를 위해 해당 인자로 행 요소를 나눌 수 있습니다.

다음 표에 나타낸다 (N)의 배열 Routh 보통 ^번째 오더 특성 다항식.

$$ a_0s ^ n + a_1s ^ {n-1} + a_2s ^ {n-2} + ... + a_ {n-1} s ^ 1 + a_ns ^ 0 $$

$ s ^ n $	$ a_0 $	$ a_2 $	$ a_4 ​​$	$ a_6 $	...	...
$ s ^ {n-1} $	$ a_1 $	$ a_3 $	$ a_5 $	$ a_7 $	...	...
$ s ^ {n-2} $	$ b_1 = \ frac {a_1a_2-a_3a_0} {a_1} $	$ b_2 = \ frac {a_1a_4-a_5a_0} {a_1} $	$ b_3 = \ frac {a_1a_6-a_7a_0} {a_1} $	...	...	...
$ s ^ {n-3} $	$ c_1 = \ frac {b_1a_3-b_2a_1} {b_1} $	$ c_2 = \ frac {b_1a_55-b_3a_1} {b_1} $	$ \ vdots $
$ \ vdots $	$ \ vdots $	$ \ vdots $	$ \ vdots $
$ s ^ 1 $	$ \ vdots $	$ \ vdots $
$ s ^ 0 $	$ a_n $

Example

특성 방정식을 갖는 제어 시스템의 안정성을 찾아 보자.

$$ s ^ 4 + 3s ^ 3 + 3s ^ 2 + 2s + 1 = 0 $$

Step 1 − Routh-Hurwitz 안정성에 필요한 조건을 확인합니다.

특성 다항식 $ s ^ 4 + 3s ^ 3 + 3s ^ 2 + 2s + 1 $의 모든 계수는 양수입니다. 따라서 제어 시스템은 필요한 조건을 충족합니다.

Step 2 − 주어진 특성 다항식에 대한 Routh 배열을 형성합니다.

$ s ^ 4 $	$ 1 $	$ 3 $	$ 1 $
$ s ^ 3 $	$ 3 $	$ 2 $
$ s ^ 2 $	$ \ frac {(3 \ times 3)-(2 \ times 1)} {3} = \ frac {7} {3} $	$ \ frac {(3 \ times 1)-(0 \ times 1)} {3} = \ frac {3} {3} = 1 $
$ s ^ 1 $	$ \ frac {\ left (\ frac {7} {3} \ times 2 \ right)-(1 \ times 3)} {\ frac {7} {3}} = \ frac {5} {7} $
$ s ^ 0 $	$ 1 $

Step 3 − Routh-Hurwitz 안정성을위한 충분한 조건을 확인합니다.

Routh 배열의 첫 번째 열에있는 모든 요소는 양수입니다. Routh 배열의 첫 번째 열에는 부호 변경이 없습니다. 따라서 제어 시스템은 안정적입니다.

Routh Array의 특수 사례

Routh 테이블을 구성하는 동안 두 가지 유형의 상황이 발생할 수 있습니다. 이 두 상황에서 Routh 테이블을 완성하는 것은 어렵습니다.

두 가지 특별한 경우는-

• Routh 배열 행의 첫 번째 요소는 0입니다.
• Routh 배열 행의 모든 ​​요소는 0입니다.

이제이 두 가지 경우의 어려움을 하나씩 하나씩 극복하는 방법을 논의하겠습니다.

Routh 배열 행의 첫 번째 요소가 0입니다.

Routh 배열의 행에 첫 번째 요소 만 0으로 포함되고 나머지 요소 중 하나 이상의 값이 0이 아닌 경우 첫 번째 요소를 작은 양의 정수 $ \ epsilon $로 바꿉니다. 그런 다음 Routh 테이블을 완료하는 프로세스를 계속하십시오. 이제 $ \ epsilon $ tends to zero를 대체하여 Routh 테이블의 첫 번째 열에서 부호 변경 횟수를 찾으십시오.

Example

특성 방정식을 갖는 제어 시스템의 안정성을 찾아 보자.

$$ s ^ 4 + 2s ^ 3 + s ^ 2 + 2s + 1 = 0 $$

Step 1 − Routh-Hurwitz 안정성에 필요한 조건을 확인합니다.

특성 다항식 $ s ^ 4 + 2s ^ 3 + s ^ 2 + 2s + 1 $의 모든 계수는 양수입니다. 따라서 제어 시스템은 필요한 조건을 충족했습니다.

Step 2 − 주어진 특성 다항식에 대한 Routh 배열을 형성합니다.

$ s ^ 4 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $
$ s ^ 3 $	2 1	2 1
$ s ^ 2 $	$ \ frac {(1 \ times 1)-(1 \ times 1)} {1} = 0 $	$ \ frac {(1 \ times 1)-(0 \ times 1)} {1} = 1 $
$ s ^ 1 $
$ s ^ 0 $

$ s ^ 3 $ 행 요소는 공약수로 2를 갖습니다. 따라서 이러한 모든 요소는 2로 나뉩니다.

Special case (i)− $ s ^ 2 $ 행의 첫 번째 요소 만 0입니다. 따라서 $ \ epsilon $로 바꾸고 Routh 테이블을 완료하는 프로세스를 계속하십시오.

$ s ^ 4 $	1	1	1
$ s ^ 3 $	1	1
$ s ^ 2 $	$ \ 엡실론 $	1
$ s ^ 1 $	$ \ frac {\ left (\ epsilon \ times 1 \ right)-\ left (1 \ times 1 \ right)} {\ epsilon} = \ frac {\ epsilon-1} {\ epsilon} $
$ s ^ 0 $	1

Step 3 − Routh-Hurwitz 안정성을위한 충분한 조건을 확인합니다.

$ \ epsilon $이 0이되는 경향이 있으므로 Routh 테이블은 다음과 같이됩니다.

$ s ^ 4 $	1	1	1
$ s ^ 3 $	1	1
$ s ^ 2 $	0	1
$ s ^ 1 $	-∞
$ s ^ 0 $	1

Routh 테이블의 첫 번째 열에 두 개의 기호 변경이 있습니다. 따라서 제어 시스템이 불안정합니다.

Routh 배열 행의 모든 ​​요소는 0입니다.

이 경우 다음 두 단계를 따르십시오.

• 0 행 바로 위에있는 행의 보조 방정식 A (s)를 작성합니다.

• s에 대해 보조 방정식 A (s)를 미분합니다. 이 계수로 0 행을 채 웁니다.

Example

특성 방정식을 갖는 제어 시스템의 안정성을 찾아 보자.

$$ s ^ 5 + 3s ^ 4 + s ^ 3 + 3s ^ 2 + s + 3 = 0 $$

Step 1 − Routh-Hurwitz 안정성에 필요한 조건을 확인합니다.

주어진 특성 다항식의 모든 계수는 양수입니다. 따라서 제어 시스템은 필요한 조건을 충족했습니다.

Step 2 − 주어진 특성 다항식에 대한 Routh 배열을 형성합니다.

$ s ^ 5 $	1	1	1
$ s ^ 4 $	3 1	3 1	3 1
$ s ^ 3 $	$ \ frac {(1 \ times 1)-(1 \ times 1)} {1} = 0 $	$ \ frac {(1 \ times 1)-(1 \ times 1)} {1} = 0 $
$ s ^ 2 $
$ s ^ 1 $
$ s ^ 0 $

$ s ^ 4 $ 행 요소의 공약수는 3입니다. 따라서이 모든 요소는 3으로 나뉩니다.

Special case (ii)− $ s ^ 3 $ 행의 모든 ​​요소는 0입니다. 따라서 $ s ^ 4 $ 행의 보조 방정식 A (s)를 작성하십시오.

$$ A (s) = s ^ 4 + s ^ 2 + 1 $$

s에 대해 위의 방정식을 미분하십시오.

$$ \ frac {\ text {d} A (s)} {\ text {d} s} = 4s ^ 3 + 2s $$

이 계수를 $ s ^ 3 $ 행에 배치하십시오.

$ s ^ 5 $	1	1	1
$ s ^ 4 $	1	1	1
$ s ^ 3 $	4 2	2 1
$ s ^ 2 $	$ \ frac {(2 \ times 1)-(1 \ times 1)} {2} = 0.5 $	$ \ frac {(2 \ times 1)-(0 \ times 1)} {2} = 1 $
$ s ^ 1 $	$ \ frac {(0.5 \ times 1)-(1 \ times 2)} {0.5} = \ frac {-1.5} {0.5} =-3 $
$ s ^ 0 $	1

Step 3 − Routh-Hurwitz 안정성을위한 충분한 조건을 확인합니다.

Routh 테이블의 첫 번째 열에 두 개의 기호 변경이 있습니다. 따라서 제어 시스템이 불안정합니다.

Routh-Hurwitz 안정성 기준에서 닫힌 루프 극이 's'평면의 왼쪽 절반에 있는지 아니면 's'평면의 오른쪽 절반에 있는지 또는 가상 축에 있는지 알 수 있습니다. 그래서 우리는 제어 시스템의 본질을 찾을 수 없습니다. 이 한계를 극복하기 위해 루트 궤적이라는 기술이 있습니다. 이 기술은 다음 두 장에서 논의 할 것입니다.