2 차 주문 시스템 대응
이 장에서는 2 차 주문 시스템의 시간 응답에 대해 설명합니다. 폐쇄 루프 제어 시스템의 다음 블록 다이어그램을 고려하십시오. 여기에서 개 루프 전달 함수 $ \ frac {\ omega ^ 2_n} {s (s + 2 \ delta \ omega_n)} $는 유니티 네거티브 피드백과 연결됩니다.
유니티 네거티브 피드백을 갖는 폐쇄 루프 제어 시스템의 전달 함수는 다음과 같습니다.
$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {G (s)} {1 + G (s)} $$
위 방정식에서 $ G (s) = \ frac {\ omega ^ 2_n} {s (s + 2 \ delta \ omega_n)} $를 대입합니다.
$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ left (\ frac {\ omega ^ 2_n} {s (s + 2 \ delta \ omega_n)} \ right)} {1+ \ left (\ frac {\ omega ^ 2_n} {s (s + 2 \ delta \ omega_n)} \ right)} = \ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega _ns + \ omega _n ^ 2} $$
's'의 거듭 제곱은 분모 항에서 2입니다. 따라서 위의 전달 함수는 2 차이며 시스템은second order system.
특성 방정식은-
$$ s ^ 2 + 2 \ delta \ omega _ns + \ omega _n ^ 2 = 0 $$
특성 방정식의 뿌리는 다음과 같습니다.
$$ s = \ frac {-2 \ omega \ delta _n \ pm \ sqrt {(2 \ delta \ omega _n) ^ 2-4 \ omega _n ^ 2}} {2} = \ frac {-2 (\ delta \ omega _n \ pm \ omega _n \ sqrt {\ delta ^ 2-1})} {2} $$
$$ \ 오른쪽 화살표 s =-\ delta \ omega_n \ pm \ omega _n \ sqrt {\ delta ^ 2-1} $$
- 두 근은 δ = 0 일 때 허수입니다.
- 두 근은 실수이며 δ = 1 일 때 동일합니다.
- 두 근은 실수이지만 δ> 1 일 때는 같지 않습니다.
- 두 뿌리는 0 <δ <1 일 때 복합 켤레입니다.
$ C (s) $ 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$ C (s) = \ left (\ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ right) R (s) $$
어디,
C(s) 출력 신호 c (t)의 라플라스 변환입니다.
R(s) 입력 신호의 라플라스 변환 r (t)
ωn 고유 진동수
δ 감쇠비입니다.
시간 도메인에서 2 차 시스템의 응답 (출력)을 얻으려면 다음 단계를 따르십시오.
입력 신호 $ r (t) $의 라플라스 변환을 사용합니다.
식 $ C (s) = \ left (\ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ right) R (s) $
위 방정식에서 $ R (s) $ 값을 대체하십시오.
필요한 경우 $ C (s) $의 부분 분수를 수행하십시오.
$ C (s) $에 역 라플라스 변환을 적용합니다.
2 차 주문 시스템의 단계 응답
단위 단계 신호를 2 차 시스템에 대한 입력으로 고려하십시오.
단위 스텝 신호의 라플라스 변환은,
$$ R (s) = \ frac {1} {s} $$
2 차 폐 루프 제어 시스템의 전달 함수는 다음과 같습니다.
$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$
사례 1 : δ = 0
전달 함수에서 $ \ delta = 0 $를 대체합니다.
$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + \ omega_n ^ 2} $$
$$ \ 오른쪽 화살표 C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + \ omega_n ^ 2} \ right) R (s) $$
위 방정식에서 $ R (s) = \ frac {1} {s} $를 대입합니다.
$$ C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + \ omega_n ^ 2} \ right) \ left (\ frac {1} {s} \ right) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s (s ^ 2 + \ omega_n ^ 2)} $$
양쪽에 역 라플라스 변환을 적용합니다.
$$ c (t) = \ left (1- \ cos (\ omega_n t) \ right) u (t) $$
따라서 $ / delta = 0 $ 일 때 2 차 시스템의 단위 단계 응답은 일정한 진폭과 주파수를 가진 연속 시간 신호가됩니다.
사례 2 : δ = 1
전달 함수에서 $ / delta = 1 $를 대체합니다.
$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$
$$ \ 오른쪽 화살표 C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ omega_n) ^ 2} \ right) R (s) $$
위 방정식에서 $ R (s) = \ frac {1} {s} $를 대입합니다.
$$ C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ omega_n) ^ 2} \ right) \ left (\ frac {1} {s} \ right) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s (s + \ omega_n) ^ 2} $$
$ C (s) $의 부분 분수를 수행합니다.
$$ C (s) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s (s + \ omega_n) ^ 2} = \ frac {A} {s} + \ frac {B} {s + \ omega_n} + \ frac {C } {(s + \ omega_n) ^ 2} $$
단순화 한 후 A, B 및 C의 값을 각각 $ 1, \ : -1 \ : 및 \ : − \ omega _n $로 얻습니다. 위의 $ C (s) $ 부분 분수 확장에서이 값을 대체하십시오.
$$ C (s) = \ frac {1} {s}-\ frac {1} {s + \ omega_n}-\ frac {\ omega_n} {(s + \ omega_n) ^ 2} $$
양쪽에 역 라플라스 변환을 적용합니다.
$$ c (t) = (1-e ^ {-\ omega_nt}-\ omega _nte ^ {-\ omega_nt}) u (t) $$
따라서 2 차 시스템의 단위 스텝 응답은 정상 상태에서 스텝 입력에 도달하려고합니다.
사례 3 : 0 <δ <1
전달 함수의 분모 항을 다음과 같이 수정할 수 있습니다.
$$ s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2 = \ left \ {s ^ 2 + 2 (s) (\ delta \ omega_n) + (\ delta \ omega_n) ^ 2 \ right \} + \ omega_n ^ 2-(\ 델타 \ omega_n) ^ 2 $$
$$ = (s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2) $$
전달 함수는 다음과 같습니다.
$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} $ $
$$ \ 오른쪽 화살표 C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} \ right) R (s ) $$
위 방정식에서 $ R (s) = \ frac {1} {s} $를 대입합니다.
$$ C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} \ right) \ left (\ frac {1} {s} \ right) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s \ left ((s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2) \ right)} $ $
$ C (s) $의 부분 분수를 수행합니다.
$$ C (s) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s \ left ((s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2) \ right)} = \ frac { A} {s} + \ frac {Bs + C} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} $$
단순화 한 후 A, B 및 C의 값을 각각 $ 1, \ : -1 \ : 및 \ : −2 \ delta \ omega _n $로 얻습니다. 위의 C (s) 부분 분수 확장에서이 값을 대체합니다.
$$ C (s) = \ frac {1} {s}-\ frac {s + 2 \ delta \ omega_n} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2) } $$
$$ C (s) = \ frac {1} {s}-\ frac {s + \ delta \ omega_n} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)}- \ frac {\ delta \ omega_n} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} $$
$ C (s) = \ frac {1} {s}-\ frac {(s + \ delta \ omega_n)} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + (\ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} ) ^ 2}-\ frac {\ delta} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ left (\ frac {\ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2}} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + (\ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2}) ^ 2} \ 오른쪽) $
위 방정식에서 $ \ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} $를 $ \ omega_d $로 대체합니다.
$$ C (s) = \ frac {1} {s}-\ frac {(s + \ delta \ omega_n)} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_d ^ 2}-\ frac {\ delta} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ left (\ frac {\ omega_d} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_d ^ 2} \ right) $$
양쪽에 역 라플라스 변환을 적용합니다.
$$ c (t) = \ left (1-e ^ {-\ delta \ omega_nt} \ cos (\ omega_dt)-\ frac {\ delta} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} e ^ {- \ delta \ omega_nt} \ sin (\ omega_dt) \ right) u (t) $$
$$ c (t) = \ left (1- \ frac {e ^ {-\ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ left ((\ sqrt {1- \ delta ^ 2 }) \ cos (\ omega_dt) + \ delta \ sin (\ omega_dt) \ right) \ right) u (t) $$
$ \ sqrt {1- \ delta ^ 2} = \ sin (\ theta) $이면 'δ'는 cos (θ)가됩니다. 위의 방정식에서이 값을 대체하십시오.
$$ c (t) = \ left (1- \ frac {e ^ {-\ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} (\ sin (\ theta) \ cos (\ omega_dt) + \ cos (\ theta) \ sin (\ omega_dt)) \ right) u (t) $$
$$ \ Rightarrow c (t) = \ left (1- \ left (\ frac {e ^ {-\ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt + \ theta) \ right) u (t) $$
따라서 2 차 시스템의 단위 단계 응답은 'δ'가 0과 1 사이에있을 때 감쇠 진동 (진폭 감소)을가집니다.
사례 4 : δ> 1
전달 함수의 분모 항을 다음과 같이 수정할 수 있습니다.
$$ s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2 = \ left \ {s ^ 2 + 2 (s) (\ delta \ omega_n) + (\ delta \ omega_n) ^ 2 \ right \} + \ omega_n ^ 2-(\ 델타 \ omega_n) ^ 2 $$
$$ = \ left (s + \ delta \ omega_n \ right) ^ 2- \ omega_n ^ 2 \ left (\ delta ^ 2-1 \ right) $$
전달 함수는 다음과 같습니다.
$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2- \ omega_n ^ 2 (\ delta ^ 2-1)} $ $
$$ \ 오른쪽 화살표 C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2- \ omega_n ^ 2 (\ delta ^ 2-1)} \ right) R (s ) $$
위 방정식에서 $ R (s) = \ frac {1} {s} $를 대입합니다.
$ C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2-(\ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) ^ 2} \ right) \ left (\ frac {1} {s} \ right) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s (s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (s + \ delta \ omega_n- \ 오메가 _n \ sqrt {\ delta ^ 2-1})} $
$ C (s) $의 부분 분수를 수행합니다.
$$ C (s) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s (s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1})} $$
$$ = \ frac {A} {s} + \ frac {B} {s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} + \ frac {C} {s + \ delta \ omega_n- \ 오메가 _n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} $$
단순화 한 후 A, B 및 C의 값을 1로, $ \ frac {1} {2 (\ delta + \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1} )} $ 및 $ \ frac {-1} {2 (\ delta- \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} $. 위의 $ C (s) $ 부분 분수 확장에서이 값을 대체하십시오.
$$ C (s) = \ frac {1} {s} + \ frac {1} {2 (\ delta + \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} \ left (\ frac {1} {s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} \ right)-\ left (\ frac {1} {2 (\ delta- \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} \ right) \ left (\ frac {1} {s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} \ 오른쪽) $$
양쪽에 역 라플라스 변환을 적용합니다.
$ c (t) = \ left (1+ \ left (\ frac {1} {2 (\ delta + \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} \ right ) e ^ {-(\ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) t}-\ left (\ frac {1} {2 (\ delta- \ sqrt {\ delta ^ 2-1} ) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} \ right) e ^ {-(\ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) t} \ right) u (t) $
과도하게 감쇠 되었기 때문에 δ> 1 일 때 2 차 시스템의 단위 스텝 응답은 정상 상태에서 스텝 입력에 도달하지 않습니다.
2 차 시스템의 임펄스 응답
그만큼 impulse response 이 두 가지 방법 중 하나를 사용하여 2 차 주문 시스템을 얻을 수 있습니다.
$ \ frac {1} {s} $ 대신 $ R (s) $의 값을 1로 간주하여 단계 응답을 유도하는 동안 관련된 절차를 따르십시오.
단계 응답의 차별화를 수행하십시오.
다음 표는 감쇠비의 4 가지 경우에 대한 2 차 시스템의 임펄스 응답을 보여줍니다.
| 감쇠비의 조건 | t ≥ 0에 대한 임펄스 응답 |
|---|---|
δ = 0 |
$ \ omega_n \ sin (\ omega_nt) $ |
δ = 1 |
$ \ omega_n ^ 2te ^ {-\ omega_nt} $ |
0 <δ <1 |
$ \ left (\ frac {\ omega_ne ^ {-\ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt) $ |
δ> 1 |
$ \ left (\ frac {\ omega_n} {2 \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} \ right) \ left (e ^ {-(\ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1 }) t} -e ^ {-(\ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) t} \ right) $ |