메이슨의 이득 공식
이제 메이슨의 이득 공식에 대해 논의하겠습니다. 신호 흐름 그래프에 'N'순방향 경로가 있다고 가정합니다. 신호 흐름 그래프의 입력 노드와 출력 노드 사이의 이득은transfer function시스템의. Mason의 이득 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.
Mason’s gain formula is
$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ Sigma ^ N _ {i = 1} P_i \ Delta _i} {\ Delta} $$
어디,
C(s) 출력 노드입니다.
R(s) 입력 노드입니다.
T $ R (s) $와 $ C (s) $ 사이의 전달 함수 또는 이득입니다.
Pii 번째 순방향 경로 이득
$ \ 델타 = 1- (합계 \ : of \ : 모든 \ : 개별 \ : 루프 \ : 이득) $
$ + (합계 \ : / \ : 이득 \ : 제품 \ : / \ : 모두 \ : 가능 \ : 두 \ : 비접촉 \ : 루프) $
$$-(합계 \ : / \ : 이득 \ : 제품 \ : / \ : 모두 \ : 가능 \ : 세 \ : 비접촉 \ : 루프) + ... $$
Δ i 는 i 번째 순방향 경로에 닿는 루프를 제거하여 Δ에서 얻습니다 .
여기에 포함 된 기본 용어를 이해하려면 다음 신호 흐름 그래프를 고려하십시오.
통로
분기 화살표 방향으로 한 노드에서 다른 노드로 분기를 순회하는 것입니다. 노드를 두 번 이상 통과해서는 안됩니다.
Examples − $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 $ 및 $ y_5 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $
앞으로 경로
입력 노드에서 출력 노드까지 존재하는 경로는 다음과 같습니다. forward path.
Examples − $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $ 및 $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.
순방향 경로 이득
순방향 경로의 모든 분기 이득의 곱을 계산하여 얻습니다.
Examples − $ abcde $는 $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $의 전방 경로 이득이고 abge는 $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6의 전방 경로 이득입니다. $.
고리
한 노드에서 시작하여 동일한 노드에서 끝나는 경로를 loop. 따라서 그것은 닫힌 경로입니다.
Examples − $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ 및 $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $.
루프 이득
루프의 모든 분기 이득의 곱을 계산하여 얻습니다.
Examples − $ b_j $는 $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $의 루프 게인이고 $ g_h $는 $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $의 루프 게인입니다.
비접촉 루프
공통 노드가 없어야하는 루프입니다.
Examples − 루프, $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ 및 $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $는 건드리지 않습니다.
Mason의 이득 공식을 사용한 전달 함수 계산
전달 함수를 찾기 위해 동일한 신호 흐름 그래프를 고려해 보겠습니다.
순방향 경로 수, N = 2.
첫 번째 경로는-$ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $입니다.
첫 번째 순방향 경로 이득, $ p_1 = abcde $.
두 번째 전방 경로는-$ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $입니다.
두 번째 순방향 경로 이득, $ p_2 = abge $.
개별 루프 수, L = 5.
루프는-$ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $, $ y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $, $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $ 및 $ y_5 \ rightarrow y_5 $.
루프 이득은-$ l_1 = bj $, $ l_2 = gh $, $ l_3 = cdh $, $ l_4 = di $ 및 $ l_5 = f $입니다.
두 개의 비접촉 루프 수 = 2.
첫 번째 비접촉 루프 쌍은-$ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $입니다.
첫 번째 비접촉 루프 쌍의 곱, $ l_1l_4 = bjdi $
두 번째 비접촉 루프 쌍은-$ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_5 \ rightarrow y_5 $입니다.
두 번째 비접촉 루프 쌍의 곱은-$ l_1l_5 = bjf $입니다.
이 신호 흐름 그래프에는 더 많은 수 (2 개 이상의) 비접촉 루프가 없습니다.
우린 알아,
$ \ 델타 = 1- (합계 \ : of \ : 모든 \ : 개별 \ : 루프 \ : 이득) $
$ + (합계 \ : / \ : 이득 \ : 제품 \ : / \ : 모두 \ : 가능 \ : 두 \ : 비접촉 \ : 루프) $
$$-(합계 \ : / \ : 이득 \ : 제품 \ : / \ : 모두 \ : 가능 \ : 세 \ : 비접촉 \ : 루프) + ... $$
위 방정식의 값을 대체하십시오.
$ \ 델타 = 1- (bj + gh + cdh + di + f) + (bjdi + bjf)-(0) $
$ \ 오른쪽 화살표 \ Delta = 1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf $
첫 번째 전진 경로를 건드리지 않는 루프가 없습니다.
따라서 $ \ Delta_1 = 1 $입니다.
마찬가지로 $ \ Delta_2 = 1 $입니다. 두 번째 순방향 경로를 건드리지 않는 루프가 없기 때문입니다.
대입, Mason의 이득 공식에서 N = 2
$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ Sigma ^ 2 _ {i = 1} P_i \ Delta _i} {\ Delta} $$
$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {P_1 \ Delta_1 + P_2 \ Delta_2} {\ Delta} $$
위의 방정식에서 필요한 모든 값을 대체하십시오.
$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) 1+ (abge) 1} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf } $$
$$ \ 오른쪽 화살표 T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) + (abge)} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf } $$
따라서 전달 함수는-
$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) + (abge)} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf} $ $