뿌리 궤적 구축
그만큼 root locuss 도메인의 그래픽 표현이며 실제 축에 대해 대칭입니다. 개방 루프 극점과 영점은 실수 또는 복합 켤레 쌍으로 값을 갖는 s 영역에 존재하기 때문입니다. 이 장에서는 루트 궤적을 구성 (그리기)하는 방법에 대해 설명합니다.
루트 궤적 생성 규칙
루트 궤적을 구성하려면 다음 규칙을 따르십시오.
Rule 1 − 's'평면에서 개방 루프 극점과 영점을 찾습니다.
Rule 2 − 근 궤적 가지의 수를 찾으십시오.
루트 궤적 분기는 개방 루프 극에서 시작하여 개방 루프 0에서 끝납니다. 따라서 뿌리 궤적 가지의 수는N 유한 개방 루프 극의 수와 같습니다. P 또는 유한 개방 루프 제로의 수 Z, 어느 쪽이 더 큰지.
수학적으로 근 궤적 가지의 수를 쓸 수 있습니다. N 같이
$ P \ geq Z $ 인 경우 $ N = P $
$ P <Z $ 인 경우 $ N = Z $
Rule 3 − 식별하고 그립니다 real axis root locus branches.
한 점에서 개 루프 전달 함수의 각도가 180 0 의 홀수 배수 이면 해당 점은 근 궤적에 있습니다. 실제 축에있는 점의 왼쪽에 홀수 개의 개방 루프 극과 0이 존재하는 경우 해당 점은 루트 궤적 분기에 있습니다. 따라서이 조건을 만족하는 지점의 분기가 근 궤적 분기의 실제 축입니다.
Rule 4 − 점근선의 중심과 각도를 구합니다.
$ P = Z $이면 모든 루트 궤적 분기는 유한 개방 루프 극에서 시작하여 유한 개방 루프 0에서 끝납니다.
$ P> Z $이면 $ Z $ 루트 궤적 분기의 수는 유한 개방 루프 극에서 시작하여 유한 개방 루프 0에서 끝나고 $ P − Z $ 루트 궤적 분기의 수는 유한 개방 루프 극에서 시작하여 무한에서 끝납니다. 개방 루프 제로.
$ P <Z $이면 P 개의 루트 궤적 분기가 유한 개방 루프 극에서 시작하여 유한 개방 루프 0에서 끝나고 $ Z − P $ 루트 궤적 분기의 수는 무한 개방 루프 극에서 시작하여 유한 개방 루프에서 끝납니다. 0.
따라서 $ P \ neq Z $ 일 때 일부 근 궤적 분기가 무한대에 접근합니다. 점근선은 이러한 뿌리 궤적 가지의 방향을 제공합니다. 실제 축에서 점근선의 교차점은 다음과 같이 알려져 있습니다.centroid.
우리는 계산할 수 있습니다 centroid α 이 공식을 사용하여
$ \ alpha = \ frac {\ sum Real \ : part \ : of \ : finite \ : open \ : loop \ : poles \ :-\ sum Real \ : part \ : of \ : finite \ : open \ : loop \ : 0} {PZ} $
각도에 대한 공식 asymptotes θ 이다
$$ \ theta = \ frac {(2q + 1) 180 ^ 0} {PZ} $$
어디,
$$ q = 0,1,2, ...., (PZ) -1 $$
Rule 5 − 가상 축으로 루트 궤적 가지의 교차점을 찾습니다.
루트 궤적 가지가 가상 축과 교차하는 지점을 계산할 수 있습니다. K 그 시점에서 Routh 배열 방법과 특수 case (ii).
Routh 배열 행의 모든 요소가 0이면 루트 궤적 분기가 가상 축과 교차하고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.
첫 번째 요소를 0으로 만들면 전체 행의 요소가 0이되는 방식으로 행을 식별합니다. 가치 찾기K 이 조합을 위해.
이것을 대체하십시오 K보조 방정식의 값. 가상 축과 루트 궤적 분기의 교차점을 얻습니다.
Rule 6 − 이탈 및 이탈 지점을 찾습니다.
두 개의 열린 루프 극 사이에 실제 축 루트 궤적 분기가 있으면 break-away point 이 두 개의 개방 루프 기둥 사이에 있습니다.
두 개의 열린 루프 0 사이에 실제 축 루트 궤적 분기가 있으면 break-in point 이 두 개의 개방 루프 제로 사이에 있습니다.
Note − 이탈 및 이탈 지점은 실제 축 루트 궤적 분기에만 존재합니다.
다음 단계에 따라 이탈 및 이탈 지점을 찾으십시오.
특성 방정식 $ 1 + G (s) H (s) = 0 $에서 $ s $로 $ K $를 씁니다.
s에 대해 $ K $를 미분하고 0과 같게 만드십시오. 위의 방정식에서 $ s $ 값을 대체하십시오.
$ K $ 값이 양수인 $ s $ 값은 break points.
Rule 7 − 출발 각도와 도착 각도를 찾으십시오.
출발 각도와 도착 각도는 복합 켤레 개방 루프 극점과 복합 켤레 개방 루프 0에서 각각 계산할 수 있습니다.
에 대한 공식 angle of departure $ \ phi_d $는
$$ \ phi_d = 180 ^ 0- \ phi $$
에 대한 공식 angle of arrival $ \ phi_a $는
$$ \ phi_a = 180 ^ 0 + \ phi $$
어디,
$$ \ phi = \ sum \ phi_P- \ sum \ phi_Z $$
예
이제 개방 루프 전달 함수를 갖는 제어 시스템의 루트 궤적을 그리겠습니다. $ G (s) H (s) = \ frac {K} {s (s + 1) (s + 5)} $
Step 1− 주어진 개방 루프 전달 함수는 $ s = 0, s = −1 $ 및 $ s = −5 $에서 세 개의 극을 갖습니다. 0이 없습니다. 따라서 루트 궤적 분기의 수는 개방 루프 전달 함수의 극 수와 같습니다.
$$ N = P = 3 $$
세 개의 극이 위 그림에 나와 있습니다. $ s = −1 $와 $ s = 0 $ 사이의 선분은 실제 축에서 루트 궤적의 한 가지입니다. 그리고 실제 축에있는 루트 궤적의 다른 분기는 $ s = −5 $의 왼쪽에있는 선분입니다.
Step 2 − 주어진 공식을 사용하여 중심의 값과 점근선의 각도를 얻습니다.
중심 $ \ alpha = −2 $
점근선의 각도는 $ \ theta = 60 ^ 0,180 ^ 0 $ 및 $ 300 ^ 0 $입니다.
다음 그림은 중심과 3 개의 점근선을 보여줍니다.
Step 3− 두 개의 점근선이 $ 60 ^ 0 $ 및 $ 300 ^ 0 $의 각도를 갖기 때문에 두 개의 루트 궤적 분기가 가상 축과 교차합니다. Routh 배열 방법과 특수한 경우 (ii)를 사용하여 루트 궤적 분기는 $ j \ sqrt {5} $ 및 $ −j \ sqrt {5} $에서 가상 축과 교차합니다.
극점 $ s = −1 $ 및 $ s = 0 $ 사이의 실제 축 루트 궤적 분기에 하나의 이탈 지점이 있습니다. 이탈 점 계산에 주어진 절차를 따르면 $ s = −0.473 $로 계산됩니다.
주어진 제어 시스템에 대한 루트 궤적 다이어그램은 다음 그림에 나와 있습니다.
이러한 방식으로 모든 제어 시스템의 루트 궤적 다이어그램을 그리고 폐쇄 루프 전달 함수의 극 이동을 관찰 할 수 있습니다.
근 궤적 다이어그램에서 다양한 감쇠 유형에 대한 K 값의 범위를 알 수 있습니다.
루트 궤적에 개방 루프 극점 및 영점 추가의 효과
루트 궤적은 ‘s’ plane 개방 루프 극과 개방 루프 0을 추가하여
개방 루프 전달 함수에 극을 포함하면 루트 궤적 분기 중 일부가 's'평면의 오른쪽 절반으로 이동합니다. 이로 인해 감쇠비 $ \ delta $가 감소합니다. 즉, 감쇠 된 주파수 $ \ omega_d $가 증가하고 지연 시간 $ t_d $, 상승 시간 $ t_r $ 및 피크 시간 $ t_p $ 감소와 같은 시간 도메인 사양이 감소합니다. 그러나 시스템 안정성에 영향을 미칩니다.
개방 루프 전달 함수에 0을 포함하면 일부 루트 궤적 분기가 's'평면의 왼쪽 절반으로 이동합니다. 따라서 제어 시스템 안정성이 향상됩니다. 이 경우 감쇠비 $ \ delta $가 증가합니다. 즉, 감쇠 주파수 $ \ omega_d $가 감소하고 지연 시간 $ t_d $, 상승 시간 $ t_r $ 및 피크 시간 $ t_p $ 증가와 같은 시간 도메인 사양이 증가합니다.
따라서 요구 사항에 따라 전달 함수에 개방 루프 극점 또는 0을 포함 (추가) 할 수 있습니다.