주파수 응답 분석
우리는 이미 제어 시스템의 시간 응답 분석과 2 차 제어 시스템의 시간 도메인 사양에 대해 논의했습니다. 이 장에서는 제어 시스템의 주파수 응답 분석과 2 차 제어 시스템의 주파수 도메인 사양에 대해 설명합니다.
주파수 응답이란 무엇입니까?
시스템의 응답은 과도 응답과 정상 상태 응답으로 나눌 수 있습니다. 푸리에 적분을 사용하여 과도 응답을 찾을 수 있습니다. 입력 정현파 신호에 대한 시스템의 정상 상태 응답은frequency response. 이 장에서는 정상 상태 응답에만 초점을 맞출 것입니다.
정현파 신호가 LTI (Linear Time-Invariant) 시스템에 입력으로 적용되면 정현파 신호 인 정상 상태 출력이 생성됩니다. 입력 및 출력 정현파 신호의 주파수는 동일하지만 진폭과 위상 각도는 다릅니다.
입력 신호를-
$$ r (t) = A \ sin (\ omega_0t) $$
개방 루프 전달 함수는 다음과 같습니다.
$$ G (s) = G (j \ omega) $$
아래와 같이 크기와 위상으로 $ G (j \ omega) $를 나타낼 수 있습니다.
$$ G (j \ 오메가) = | G (j \ 오메가) | \ angle G (j \ omega) $$
위 방정식에서 $ \ omega = \ omega_0 $를 대입합니다.
$$ G (j \ omega_0) = | G (j \ omega_0) | \ angle G (j \ omega_0) $$
출력 신호는
$$ c (t) = A | G (j \ omega_0) | \ sin (\ omega_0t + \ angle G (j \ omega_0)) $$
그만큼 amplitude $ \ omega = \ omega_0 $에서 입력 정현파 신호의 진폭과 $ G (j \ omega) $의 크기를 곱하여 출력 정현파 신호의 값을 얻습니다.
그만큼 phase $ \ omega = \ omega_0 $에서 입력 정현파 신호의 위상과 $ G (j \ omega) $의 위상을 더하여 출력 정현파 신호의 값을 얻습니다.
어디,
A 입력 정현파 신호의 진폭입니다.
ω0 입력 정현파 신호의 각 주파수입니다.
아래와 같이 각 주파수 $ \ omega_0 $를 쓸 수 있습니다.
$$ \ omega_0 = 2 \ pi f_0 $$
여기서 $ f_0 $는 입력 정현파 신호의 주파수입니다. 마찬가지로 폐쇄 루프 제어 시스템에 대해서도 동일한 절차를 따를 수 있습니다.
주파수 도메인 사양
주파수 도메인 사양은 다음과 같습니다. resonant peak, resonant frequency and bandwidth.
2 차 폐 루프 제어 시스템의 전달 함수를 다음과 같이 고려하십시오.
$$ T (s) = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$
위 방정식에서 $ s = j \ omega $를 대입합니다.
$$ T (j \ omega) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {(j \ omega) ^ 2 + 2 \ delta \ omega_n (j \ omega) + \ omega_n ^ 2} $$
$$ \ Rightarrow T (j \ omega) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {-\ omega ^ 2 + 2j \ delta \ omega \ omega_n + \ omega_n ^ 2} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {\ omega_n ^ 2 \ left (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} + \ frac {2j \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right)} $$
$$ \ Rightarrow T (j \ omega) = \ frac {1} {\ left (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} \ right) + j \ left (\ frac {2 \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right)} $$
$ \ frac {\ omega} {\ omega_n} = u $ 위 방정식에서이 값을 대체하십시오.
$$ T (j \ omega) = \ frac {1} {(1-u ^ 2) + j (2 \ delta u)} $$
$ T (j \ omega) $의 크기는-
$$ M = | T (j \ omega) | = \ frac {1} {\ sqrt {(1-u ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u) ^ 2}} $$
$ T (j \ omega) $의 단계는-
$$ \ angle T (j \ omega) =-tan ^ {-1} \ left (\ frac {2 \ delta u} {1-u ^ 2} \ right) $$
공진 주파수
주파수 응답의 크기가 처음으로 피크 값을 갖는 주파수입니다. $ \ omega_r $로 표시됩니다. $ \ omega = \ omega_r $에서 $ T (j \ omega) $ 크기의 첫 번째 도함수는 0입니다.
$ u $와 관련하여 $ M $를 차별화하십시오.
$$ \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} =-\ frac {1} {2} \ left [(1-u ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u) ^ 2 \ 오른쪽] ^ {\ frac {-3} {2}} \ left [2 (1-u ^ 2) (-2u) +2 (2 \ delta u) (2 \ delta) \ right] $$
$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} =-\ frac {1} {2} \ left [(1-u ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u ) ^ 2 \ right] ^ {\ frac {-3} {2}} \ left [4u (u ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2) \ right] $$
위 방정식에서 $ u = u_r $ 및 $ \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} == 0 $를 대입합니다.
$$ 0 =-\ frac {1} {2} \ left [(1-u_r ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u_r) ^ 2 \ right] ^ {-\ frac {3} {2}} \ left [4u_r (u_r ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2) \ 오른쪽] $$
$$ \ 오른쪽 화살표 4u_r (u_r ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2) = 0 $$
$$ \ 오른쪽 화살표 u_r ^ 2-1 + 2 \ delta ^ 2 = 0 $$
$$ \ 오른쪽 화살표 u_r ^ 2 = 1-2 \ delta ^ 2 $$
$$ \ Rightarrow u_r = \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $$
위 방정식에서 $ u_r = \ frac {\ omega_r} {\ omega_n} $를 대입합니다.
$$ \ frac {\ omega_r} {\ omega_n} = \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $$
$$ \ Rightarrow \ omega_r = \ omega_n \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $$
공명 피크
$ T (j \ omega) $ 크기의 피크 (최대) 값입니다. $ M_r $로 표시됩니다.
$ u = u_r $에서 $ T (j \ omega) $의 크기는-
$$ M_r = \ frac {1} {\ sqrt {(1-u_r ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u_r) ^ 2}} $$
위 방정식에서 $ u_r = \ sqrt {1 − 2 \ delta ^ 2} $ 및 $ 1 − u_r ^ 2 = 2 \ delta ^ 2 $를 대입합니다.
$$ M_r = \ frac {1} {\ sqrt {(2 \ delta ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2}) ^ 2}} $$
$$ \ Rightarrow M_r = \ frac {1} {2 \ delta \ sqrt {1- \ delta ^ 2}} $$
주파수 응답의 공진 피크는 댐핑 비율 $ \ delta $의 특정 값에 대한 시간 도메인 과도 응답의 피크 오버 슈트에 해당합니다. 따라서 공진 피크와 피크 오버 슈트는 서로 상관됩니다.
대역폭
$ T (j \ omega) $의 크기가 제로 주파수 값에서 70.7 %로 떨어지는 주파수 범위입니다.
$ \ omega = 0 $에서 $ u $의 값은 0이됩니다.
대체, $ u = 0 $ (M).
$$ M = \ frac {1} {\ sqrt {(1-0 ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta (0)) ^ 2}} = 1 $$
따라서 $ T (j \ omega) $의 크기는 $ \ omega = 0 $에서 1입니다.
3dB 주파수에서 $ T (j \ omega) $의 크기는 $ \ omega = 0 $에서 $ T (j \ omega) $ 크기의 70.7 %가됩니다.
예 : $ \ omega = \ omega_B, M = 0.707 (1) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} $
$$ \ Rightarrow M = \ frac {1} {\ sqrt {2}} = \ frac {1} {\ sqrt {(1-u_b ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u_b) ^ 2}} $$
$$ \ 오른쪽 화살표 2 = (1-u_b ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta) ^ 2 u_b ^ 2 $$
하자, $ u_b ^ 2 = x $
$$ \ 오른쪽 화살표 2 = (1-x) ^ 2 + (2 \ delta) ^ 2 x $$
$$ \ 오른쪽 화살표 x ^ 2 + (4 \ delta ^ 2-2) x-1 = 0 $$
$$ \ Rightarrow x = \ frac {-(4 \ delta ^ 2 -2) \ pm \ sqrt {(4 \ delta ^ 2-2) ^ 2 + 4}} {2} $$
x의 양수 값만 고려하십시오.
$$ x = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2 \ delta ^ 2-1) ^ 2 + 1} $$
$$ \ Rightarrow x = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4)} $$
대체, $ x = u_b ^ 2 = \ frac {\ omega_b ^ 2} {\ omega_n ^ 2} $
$$ \ frac {\ omega_b ^ 2} {\ omega_n ^ 2} = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4)} $$
$$ \ Rightarrow \ omega_b = \ omega_n \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4)}} $$
주파수 응답의 대역폭 $ \ omega_b $는 시간 도메인 과도 응답의 상승 시간 $ t_r $에 반비례합니다.