시간 도메인 사양

이 장에서는 2 차 시스템의 시간 도메인 사양에 대해 설명합니다. 언더 댐핑 된 케이스에 대한 2 차 시스템의 스텝 응답은 다음 그림에 나와 있습니다.

이 그림에는 모든 시간 도메인 사양이 나와 있습니다. 안정화 시간까지의 응답을 과도 응답이라고하고 안정화 시간 이후의 응답을 정상 상태 응답이라고합니다.

지연 시간

응답이 도달하는 데 필요한 시간입니다. half of its final value제로 순간부터. $ t_d $로 표시됩니다.

'δ'가 0과 1 사이에있을 때 t ≥ 0에 대한 2 차 시스템의 단계 응답을 고려하십시오.

$$ c (t) = 1- \ 왼쪽 (\ frac {e ^ {-\ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$

단계 응답의 최종 값은 1입니다.

따라서 $ t = t_d $에서 단계 응답의 값은 0.5가됩니다. 위의 방정식에서 이러한 값을 대체하십시오.

$$ c (t_d) = 0.5 = 1- \ left (\ frac {e ^ {-\ delta \ omega_nt_d}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_d + \ theta) $$

$$ \ Rightarrow \ left (\ frac {e ^ {-\ delta \ omega_nt_d}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_d + \ theta) = 0.5 $$

선형 근사를 사용하면 delay time t_d 같이

$$ t_d = \ frac {1 + 0.7 \ delta} {\ omega_n} $$

상승 시간

응답이 상승하는 데 필요한 시간입니다. 0% to 100% of its final value. 이것은under-damped systems. 과도한 감쇠 시스템의 경우 최종 값의 10 %에서 90 %까지의 지속 시간을 고려하십시오. 상승 시간은 다음과 같이 표시됩니다.t_r.

t = t ₁ = 0, c (t) = 0에서.

단계 응답의 최종 값은 1이라는 것을 알고 있습니다.

따라서 $ t = t_2 $에서 단계 응답의 값은 1입니다. 다음 방정식에서이 값을 대체하십시오.

$$ c (t) = 1- \ 왼쪽 (\ frac {e ^ {-\ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$

$$ c (t_2) = 1 = 1- \ left (\ frac {e ^ {-\ delta \ omega_nt_2}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_2 + \ theta) $$

$$ \ Rightarrow \ left (\ frac {e ^ {-\ delta \ omega_nt_2}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_2 + \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ sin (\ omega_dt_2 + \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ omega_dt_2 + \ theta = \ pi $$

$$ \ Rightarrow t_2 = \ frac {\ pi- \ theta} {\ omega_d} $$

다음 방정식에서 t ₁ 및 t ₂ 값을 대체하십시오.rise time,

$$ t_r = t_2-t_1 $$

$$ \ 따라서 \ : t_r = \ frac {\ pi- \ theta} {\ omega_d} $$

위의 방정식에서 상승 시간 $ t_r $과 감쇠 주파수 $ \ omega_d $가 서로 반비례한다는 결론을 내릴 수 있습니다.

피크 타임

응답이 도달하는 데 필요한 시간입니다. peak value처음으로. $ t_p $로 표시됩니다. $ t = t_p $에서 응답의 첫 번째 도함수는 0입니다.

저 감쇠 케이스에 대한 2 차 주문 시스템의 단계 응답은

$$ c (t) = 1- \ 왼쪽 (\ frac {e ^ {-\ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$

't'와 관련하여 $ c (t) $를 구별하십시오.

$$ \ frac {\ text {d} c (t)} {\ text {d} t} =-\ left (\ frac {e ^ {-\ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ omega_d \ cos (\ omega_dt + \ theta)-\ left (\ frac {-\ delta \ omega_ne ^ {-\ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ 오른쪽) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$

위 방정식에서 $ t = t_p $ 및 $ \ frac {\ text {d} c (t)} {\ text {d} t} = 0 $를 대입합니다.

$$ 0 =-\ left (\ frac {e ^ {-\ delta \ omega_nt_p}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ left [\ omega_d \ cos (\ omega_dt_p + \ theta)-\ delta \ omega_n \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) \ right] $$

$$ \ Rightarrow \ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} \ cos (\ omega_dt_p + \ theta)-\ delta \ omega_n \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ sqrt {1- \ delta ^ 2} \ cos (\ omega_dt_p + \ theta)-\ delta \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ sin (\ theta) \ cos (\ omega_dt_p + \ theta)-\ cos (\ theta) \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ sin (\ theta- \ omega_dt_p- \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow sin (-\ omega_dt_p) = 0 \ Rightarrow-\ sin (\ omega_dt_p) = 0 \ Rightarrow sin (\ omega_dt_p) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ omega_dt_p = \ pi $$

$$ \ Rightarrow t_p = \ frac {\ pi} {\ omega_d} $$

위의 방정식에서 피크 시간 $ t_p $와 감쇠 된 주파수 $ \ omega_d $가 서로 반비례한다는 결론을 내릴 수 있습니다.

피크 오버 슈트

피크 오버 슈트 M_p응답의 최종 값에서 피크 시간에 응답의 편차로 정의됩니다. 또한maximum overshoot.

수학적으로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$ M_p = c (t_p) -c (\ infty) $$

어디,

c (t _p )는 응답의 피크 값입니다.

c (∞)는 응답의 최종 (안정 상태) 값입니다.

$ t = t_p $에서 응답 c (t)는-

$$ c (t_p) = 1- \ left (\ frac {e ^ {-\ delta \ omega_nt_p}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) $$

위 방정식의 오른쪽에서 $ t_p = \ frac {\ pi} {\ omega_d} $를 대입합니다.

$$ c (t_P) = 1- \ left (\ frac {e ^ {-\ delta \ omega_n \ left (\ frac {\ pi} {\ omega_d} \ right)}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin \ left (\ omega_d \ left (\ frac {\ pi} {\ omega_d} \ right) + \ theta \ right) $$

$$ \ Rightarrow c (t_p) = 1- \ left (\ frac {e ^ {-\ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)}} { \ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) (-\ sin (\ theta)) $$

우리는 알고 있습니다

$$ \ sin (\ theta) = \ sqrt {1- \ delta ^ 2} $$

그래서 우리는 $ c (t_p) $를

$$ c (t_p) = 1 + e ^ {-\ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} $$

피크 오버 슈트 방정식에서 $ c (t_p) $ 및 $ c (\ infty) $ 값을 대체합니다.

$$ M_p = 1 + e ^ {-\ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)}-1 $$

$$ \ Rightarrow M_p = e ^ {-\ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} $$

Percentage of peak overshoot % $ M_p $는이 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

$$ \ % M_p = \ frac {M_p} {c (\ infty)} \ times 100 \ % $$

위 공식에서 $ M_p $ 및 $ c (\ infty) $ 값을 대체하면 $ \ % M_p $ 피크 오버 슈트의 백분율을 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$$ \ % M_p = \ left (e ^ {-\ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} \ right) \ times 100 \ % $$

위의 방정식에서 감쇠비 $ \ delta $가 증가하면 피크 오버 슈트 $ \ % M_p $의 백분율이 감소한다는 결론을 내릴 수 있습니다.

정착 시간

응답이 정상 상태에 도달하고 최종 값 주변의 지정된 허용 범위 내에 머무르는 데 필요한 시간입니다. 일반적으로 공차 밴드는 2 % 및 5 %입니다. 정착 시간은 $ t_s $로 표시됩니다.

5 % 공차 대역의 안정화 시간은 다음과 같습니다.

$$ t_s = \ frac {3} {\ delta \ omega_n} = 3 \ tau $$

2 % 공차 대역의 안정화 시간은 다음과 같습니다.

$$ t_s = \ frac {4} {\ delta \ omega_n} = 4 \ tau $$

여기서 $ \ tau $는 시간 상수이고 $ \ frac {1} {\ delta \ omega_n} $와 같습니다.

• 안정화 시간 $ t_s $와 시간 상수 $ \ tau $는 모두 감쇠비 $ \ delta $에 반비례합니다.

• 정착 시간 $ t_s $ 및 시정 수 $ \ tau $는 시스템 이득과 무관합니다. 즉, 시스템 이득이 변경 되더라도 정착 시간 $ t_s $ 및 시간 상수 $ \ tau $는 절대 변경되지 않습니다.

예

이제 단위 스텝 신호가이 제어 시스템에 입력으로 적용될 때 폐 루프 전달 함수 $ \ frac {4} {s ^ 2 + 2s + 4} $를 갖는 제어 시스템의 시간 도메인 사양을 찾아 보겠습니다.

2 차 폐 루프 제어 시스템의 전달 함수의 표준 형태는 다음과 같습니다.

$$ \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$

이 두 전달 함수를 동일시하면 감쇠되지 않은 고유 주파수 $ \ omega_n $을 2rad / sec로, 감쇠비 $ \ delta $를 0.5로 얻을 수 있습니다.

감쇠 주파수 $ \ omega_d $의 공식은 다음과 같습니다.

$$ \ omega_d = \ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} $$

위 공식에서 $ \ omega_n $ 및 $ \ delta $ 값을 대체하십시오.

$$ \ Rightarrow \ omega_d = 2 \ sqrt {1- (0.5) ^ 2} $$

$$ \ Rightarrow \ omega_d = 1.732 \ : rad / sec $$

다음 관계에서 $ \ delta $ 값 대체

$$ \ theta = \ cos ^ {-1} \ delta $$

$$ \ Rightarrow \ theta = \ cos ^ {-1} (0.5) = \ frac {\ pi} {3} \ : rad $$

주어진 전달 함수에 대한 시간 도메인 사양의 값을 얻기 위해 각 시간 도메인 사양의 공식에서 위의 필요한 값을 대체하고 단순화하십시오.

다음 표는 시간 도메인 사양의 공식, 필요한 값의 대체 및 최종 값을 보여줍니다.

시간 도메인 사양	공식	수식의 값 대체	최종 가치
지연 시간	$ t_d = \ frac {1 + 0.7 \ delta} {\ omega_n} $	$ t_d = \ frac {1 + 0.7 (0.5)} {2} $	$ t_d $ = 0.675 초
상승 시간	$ t_r = \ frac {\ pi- \ theta} {\ omega_d} $	$ t_r = \ frac {\ pi-(\ frac {\ pi} {3})} {1.732} $	$ t_r $ = 1.207 초
피크 타임	$ t_p = \ frac {\ pi} {\ omega_d} $	$ t_p = \ frac {\ pi} {1.732} $	$ t_p $ = 1.813 초
% 피크 오버 슈트	$ \ % M_p = \ left (e ^ {-\ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} \ right) \ times 100 \ % $	$ \ % M_p = \ left (e ^ {-\ left (\ frac {0.5 \ pi} {\ sqrt {1- (0.5) ^ 2}} \ right)} \ right) \ times 100 \ % $	$ \ % \ : M_p $ = 16.32 %
2 % 공차 대역에 대한 정착 시간	$ t_s = \ frac {4} {\ delta \ omega_n} $	$ t_S = \ frac {4} {(0.5) (2)} $	$ t_s $ = 4 초