Dimensão da fibra

Question

Deixei $f:X\rightarrow Y$ ser um morfismo sobrejetivo de esquemas algébricos (sobre um campo algébricamente fechado $F$ de característica $0$) Eu acho que em bons casos ($X$ e $Y$ irredutível) temos que todos para todos $y$ dentro $Y$ a dimensão da fibra $f^{-1}(y)$ é pelo menos $\dim X-\dim Y$. O que acontecerá se abandonarmos a suposição de irredutibilidade? São os contra-exemplos a este limite inferior para a dimensão de$f^{-1}(y)$?

Answer 1

Sim, se você não exigir $Y$ se for irredutível, esse limite pode ser violado.

O exemplo mais barato é pegar $f: X \rightarrow Y$ sobrejetiva de qualquer dimensão relativa que você quiser, maior do que $0$, deixei $X'$ e $Y'$ seja a união disjunta de cada um deles com um ponto, e defina $f'$ igualar $f$ em $X$ e para mapear o novo ponto em $X$ para o novo ponto em $Y$.

Se você precisar de conexão, pode fazer algo semelhante, agora anexando, digamos, uma linha transversalmente $X$ em algum ponto $x$ e outra linha para $Y$ em $f(x)$, e estendendo $f$ mapeando a linha para a linha isomorficamente.

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Com um pouco mais de manipulação, também podemos preparar um exemplo em que $Y$ é irredutível, da seguinte forma.

Deixei $Y=\mathbf A^1$, deixei $Z \subset \mathbf A^2$ ser definido por $xy=1$, e deixar $q:Z \rightarrow Y$ser a projeção, digamos, no primeiro fator. Este mapa é um isomorfismo para o conjunto aberto$Y \setminus \{0\}$.

Agora deixe $W=Z \times \mathbf A^1 \subset \mathbf A^3$. Em seguida, o mapa de projeção$W \rightarrow Y$ tem fibras unidimensionais em cada ponto $y \neq 0$, enquanto a fibra acaba $0$ está vazia.

Finalmente vamos $L$ seja o eixo $\{(t,0,0) \mid t \in k \} \subset \mathbf A^3$, e deixar $X=W \cup L \subset \mathbf A^3$. Então a projeção$X \rightarrow Y$ é sobrejetora, com fibras unidimensionais sobre cada $y \neq 0$e fibra 0-dimensional sobre $0 \in Y$.