$2^{\aleph_0} \geq \aleph_1$

Ответ Криса Игла правильный, но в нем есть нюансы, о которых стоит упомянуть.

Прежде всего, мы должны доказать, что существует наименьший несчетный кардинал, прежде чем мы сможем назвать его$\aleph_1$, и это нетривиально. Это распадается на две части, и ключом ко второй является аксиома выбора ,$\mathsf{AC}$:

• Без использования $\mathsf{AC}$мы можем показать, что ординалы хорошо (предварительно) упорядочены по мощности и что существует несчетный ординал. Следовательно, «наименее несчетный порядковый номер » имеет смысл, и это то, что мы называем$\aleph_1$ или же $\omega_1$(обозначения означают одно и то же, но служат подсказкой контекста из-за неприятной перегрузки обозначений - см. кардинальную арифметику и порядковую арифметику , и вам станет грустно).

• $\mathsf{AC}$затем сообщает нам, что каждый набор находится во взаимно однозначном соответствии с некоторым порядковым номером. Так что на самом деле мы имеем право ссылаться на$\aleph_1$ как "наименее несчетный кардинал:" если $X$ является бесчисленным множеством, то должна быть инъекция $\aleph_1$ в $X$.

Обратите внимание, что первый пункт выше конкретно описывает $\aleph_1$; однако это описание носит скорее технический характер. В принципе,$\mathsf{CH}$ гипотеза о том, что мы можем заменить описание на основе порядковых чисел $\aleph_1$ с гораздо более интуитивным, а именно "мощность $\mathbb{R}$. "

Во-вторых, использование вышеупомянутого выбора вызывает немедленный вопрос: что, если мы не предполагаем выбор? То есть что если мы работаем в$\mathsf{ZF}$ вместо $\mathsf{ZFC}$?

В этом случае все становится намного сложнее. $\aleph_1$все еще имеет смысл, но возможно, что это несопоставимо с$\mathbb{R}$: может случиться так, что ни один из них не впрыскивается в другой. (Что интересно,$\mathsf{ZF}$ действительно доказывает, что есть сюръекция из$\mathbb{R}$ на $\omega_1$, но мы не хотим сравнивать размеры множеств с помощью сюръекций: в отличие от инъекций , с учетом сюрпризов$A\rightarrow B$ и $B\rightarrow A$ мы не можем вообще восстановить биекцию $A\leftrightarrow B$ без аксиомы выбора.)

Таким образом, в контексте без выбора мы также получаем «гипотезу слабого континуума»: это гипотеза о том, что каждое несчетное множество действительных чисел находится в биекции с$\mathbb{R}$. Предполагая некоторую естественную альтернативу выбору , мы фактически имеем$\aleph_1$ и $\mathbb{R}$ несравнимы, но гипотеза слабого континуума верна.

Таким образом, теорема Кантора показывает, что нет никаких сюрпризов от $\aleph_0$ к $2^{\aleph_0}$. Однако неравенство$$2^{\aleph_0}\ge\aleph_1$$ несколько глубже этого: даже если мы примем аксиому выбора, потребуется некоторая работа, чтобы вывести ее из теоремы Кантора (на самом деле, гораздо больше работы, чем требуется для доказательства самой теоремы Кантора), и без аксиомы выбора она может оказаться ложной. (тогда как теорема Кантора не использует аксиому выбора).

По определению, $\aleph_1$- наименьший несчетный кардинал. Кантор доказал, что$\mathbb{R}$ неисчислимо, поэтому $|\mathbb{R}|$ по крайней мере, такой же большой, как наименьший несчетный кардинал, поэтому $2^{\aleph_0} \geq \aleph_1$.