Асимптотика пар простых чисел

Question

Я не являюсь экспертом в теории чисел, поэтому, если кто-то может знать ответ или наводку на следующие вопросы, я буду очень признателен. Позволять$\mathcal{P}$ быть простыми числами, и пусть $x$обозначают натуральное число. Что такое большой$x$ поведение $$\# \{ (p, q) : p, q \in \mathcal{P}, \, p < q \, , \, p \, q \leq x \},$$ где $\#$количество элементов в наборе, как обычно? Другими словами, сколько (неупорядоченных) пар простых чисел с произведением не более$x$ там как $x \rightarrow \infty$? Например, легко увидеть, что асимптотически число должно быть$$\sum_{p \in \mathcal{P}, \, p \leq \sqrt{x}}\left( \frac{x/p}{\log x/p} - \frac{p}{\log p} \right),$$но, конечно же, вопрос в том, можно ли придать этой сумме больше смысла, или ее можно записать как выражение, включающее только $x$. Благодарю.

Answer 1

$$\sum_{p<q,pq\le x} 1 =\sum_{p\le \sqrt{x}} \pi(x/p)-\pi(p)$$

$$\sum_{p\le \sqrt{x}} \pi(x/p)=\sum_{p\le x/2} \frac{x/p}{\log x/p}+O(\frac{x/p}{\log^2 x/p})$$ (Я использовал PNT) $$=\sum_{p\le \sqrt{x}}\frac{x/p}{\log x}(1+O(\frac{\log p}{\log x}))+O(\frac{x/p}{\log^2 x}(1+\frac{\log p}{\log x}))$$

$$=\sum_{p\le \sqrt{x}}\frac{x/p}{\log x}+O(\frac{x \log p}{p\log^2 x})= \frac{x \log\log x}{\log x}+O(\frac{x}{\log x}) $$ (Теорема Мертенса)

$$\sum_{p\le \sqrt{x}} \pi(p) = O(\sum_{n\le \sqrt{x}} \frac{n}{\log n}) = O(\frac{x}{\log x})$$