Является $N$ подгруппа $H$?

Question

Позволять $N$ - конечная нормальная подгруппа группы $G$, и $H$ быть подгруппой $G$ такой, что $[G:H]$конечно. Нам было поручено показать, что если$[G:H]$ и $|N|$ относительно простые, то $N\leq H$.

Первоначально я думал просто использовать теорему Лагранжа для каждого отношения группа-подгруппа, которое у меня было выше, но понял, что $|G|$ и $|H|$могут быть группами бесконечного порядка. У меня проблемы, и я не знаю, правильно ли то, что я думал изначально. Просто дайте мне подсказки, как начать, а я сделаю все остальное. Я все еще хочу доказать это самостоятельно. Большое спасибо.

Answer 1

поскольку $N$ это нормально, $HN$ является подгруппой $G$, и с тех пор $HN/N \cong H/(H \cap N)$, у нас есть $|HN:H|=|N:H \cap N|$. Эти последние индексы конечны и делят$|G:H|$ и $|N|$. Поскольку эти последние числа взаимно просты, отсюда следует, что$|HN:H|=1=|N: H \cap N|$. Следовательно,$HN=H$, что эквивалентно $N \subseteq H$.