Би-аннигилятор подпространства двойственного бесконечномерного векторного пространства

Aug 16 2020

Позволять $V$- бесконечномерное векторное пространство и$V^*$его двойственный.
Для линейного подпространства$W\subset V$ определять $W^ \circ\subset V^*$ как подпространство линейных форм на $V$ исчезновение на $W$.
Вдвойне, для$\Gamma\subset V^*$ определять $\Gamma^\diamond \subset V$ как набор векторов $v\in V$ такой, что $\gamma(v)=0$ для всех линейных форм $\gamma\in \Gamma$.
Немного удивительно, но не так сложно показать, что для всех подпространств$W\subset V$ равенство $(W^\circ) ^\diamond=W$.
Но правда ли, что для всех$\Gamma\subset V^*$ у нас есть $(\Gamma^\diamond)^\circ=\Gamma$?
А есть ли ссылка (статья, книга, конспект лекций, ...), где упоминается эта проблема?

Ответы

5 LSpice Aug 16 2020 at 21:12

Нет, $(\Gamma^\diamond)^\circ$ не обязательно всегда равняться $\Gamma$. Позволять$\mathcal B$ быть основой для $V$, и разреши $\Gamma$ быть размахом "двойственного" множества $\{e_b \mathrel: b \in \mathcal B\}$, так $e_b(c)$является кронштейн Айверсон $[b = c]$ для всех $b, c \in \mathcal B$. потом$\Gamma^\diamond$ является $0$, так $(\Gamma^\diamond)^\circ$ все из $V^*$; но$\Gamma$ сам по себе не содержит, например, элемента $\sum_{b \in \mathcal B} e_b$ из $V^*$.

3 lefuneste Aug 16 2020 at 21:26

Равенство вообще неверно.
Контрпример: исправить основу$v_i, i\in I$ из $V$ и рассмотрим множество координатных линейных форм $v^*_i, i\in I$.
Эти формы линейно независимы, но никогда не образуют основы, поскольку$V$бесконечномерно.
Так что заполните эти формы до основы$(v^*_j), j\in J$ с участием $J\setminus I\neq\emptyset$.
Выбирать$l\in J\setminus I$ и положи $J'=J\setminus \{l\}$
Если вы определите $\Gamma \subset V^*$ как векторное пространство, порожденное $v_j^*, j\in J'$, тогда $\Gamma^\diamond =0$ (поскольку уже подпространство $V^*$ генерируется $v_i^*, i\in I$ убить все векторы в $V$) чтобы $\Gamma\subsetneq (\Gamma^\diamond)^\circ=\{0\}^\circ=V^*$ что дает требуемый контрпример.