Число скирмиона
Число скирмионов определяется как $$n=\frac{1}{4\pi}\int\mathbf{M}\cdot\left(\frac{\partial\mathbf{M}}{\partial x}\times\frac{\partial\mathbf{M}}{\partial y}\right)dxdy$$ где $n$ - топологический индекс, $\mathbf {M}$ - единичный вектор в направлении локальной намагниченности внутри магнитной тонкой, ультратонкой или объемной пленки, а интеграл берется по двумерному пространству.
Известно, что $\mathbf{r}=\left(r\cos\alpha,r\sin\alpha\right)$ и $\mathbf{m}=\left(\cos\phi \sin\theta,\sin\phi \sin\theta,\cos\theta\right)$. В конфигурациях скирмионов пространственную зависимость намагниченности можно упростить, установив перпендикулярную магнитную переменную, независимую от угла в плоскости ($ \theta \left(r\right)$) и плоской магнитной переменной независимо от радиуса ($ \phi \left(\alpha\right)$). Тогда число скирмиона гласит:$$n=\frac{1}{4\pi}\int_0^\infty dr\int_0^{2\pi}d\alpha\ \frac{d\theta\left(r\right)}{dr}\frac{d\phi\left(\alpha\right)}{d\alpha}\sin\theta\left(r\right)=\frac{1}{4\pi}\ [\cos\theta\left(r\right)]_{\theta\left(r=0\right)}^{\theta\left(r=\infty\right)}[\phi\left(\alpha\right)]_{\theta\left(\alpha=0\right)}^{\theta\left(\alpha=2\pi\right)}$$
Мой вопрос: это $\frac{\partial\mathbf{M}}{\partial x}\times \frac{\partial\mathbf{M}}{\partial y}$продукт завиток и каков результат этого термина? Как тогда прийти к окончательному уравнению?
Ответы
Это не завиток. Это можно увидеть, выразив локон в компонентах вектора.$$\nabla \times \mathbf M=\begin{pmatrix} \partial_yM_z-\partial_z M_y\\ \partial_zM_x-\partial_x M_z\\ \partial_xM_y-\partial_y M_x \end{pmatrix}$$ Вот $\partial_x$ обозначает частную производную по $x$. Количество$\partial_x\mathbf M$ такой же вектор, как $\mathbf M$. Имеет компоненты$$\partial_x \mathbf M=\begin{pmatrix} \partial_xM_x\\ \partial_xM_y\\ \partial_xM_z \end{pmatrix}$$ Расчет количества $\partial_x\mathbf M\times\partial_y\mathbf M$ тогда просто вопрос применения перекрестного произведения. $$\partial_x\mathbf M\times\partial_y\mathbf M=\begin{pmatrix} \partial_xM_y\partial_yM_z-\partial_xM_z\partial_yM_y\\ \partial_xM_z\partial_yM_x-\partial_xM_x\partial_yM_z\\ \partial_xM_x\partial_yM_y-\partial_xM_y\partial_yM_x \end{pmatrix}$$Это устрашающее выражение, и вы, вероятно, не получите особой интуиции, глядя на компоненты. Что вы можете сказать об этом, так это то, что$\mathbf A\cdot(\mathbf B\times \mathbf C)$образует векторное тройное произведение . Это дает объем, охватываемый (параллелепипедом)$\mathbf A,\mathbf B$ и $\mathbf C$. Таким образом, количество, которое вы интегрируете, - это объем, охватываемый$\mathbf M,\partial_x \mathbf M$ и $\partial_y \mathbf M$.
Чтобы вычислить интеграл в вашем последнем уравнении, достаточно просто вставить все в мое последнее выражение для $\partial_x\mathbf M\times\partial_y\mathbf M$. Это утомительно, но вполне выполнимо.
ИЗМЕНИТЬ Я добавлю дополнительную информацию, чтобы сделать расчет менее утомительным. Частные производные могут быть расширены с помощью цепного правила $\partial_x=\frac{\partial r}{\partial x}\partial_r+\frac{\partial \alpha}{\partial x}\partial_\alpha$. Их можно рассчитать как $$\partial_x=\cos\alpha\partial_r-\frac{\sin\alpha}r\partial_\alpha\\ \partial_y=\sin\alpha\partial_r+\frac{\cos\alpha}r\partial_\alpha$$ Далее обратите внимание, что $\partial_r\mathbf M=\frac{d\theta}{dr}\partial_\theta\mathbf M$ и $\partial_\alpha\mathbf M=\frac{d\phi}{d\alpha}\partial_\phi\mathbf M$. Если мы назовем эти векторы частных производных $\mathbf e_\theta=\partial_\theta\mathbf M$ и $\mathbf e_\phi=\partial_\phi\mathbf M$ тогда перекрестное произведение становится $$\partial_x\mathbf M\times\partial_y\mathbf M=\left(\cos\alpha\frac{d\theta}{dr}\mathbf e_\theta-\frac{\sin\alpha}r\frac{d\phi}{d\alpha}\mathbf e_\phi\right)\times\left(\sin\alpha\frac{d\theta}{dr}\mathbf e_\theta + \frac{\cos\alpha}r\frac{d\phi}{d\alpha}\mathbf e_\phi\right)$$ Наконец, вы можете рассчитать, что $\mathbf e_\theta\times \mathbf e_\phi=\sin\theta \,\mathbf M$ и вы должны иметь возможность выполнять этот расчет без явного расчета всех компонентов.
И да, вы должны добавить фактор $r$ когда вы переключаетесь на полярные координаты, как вы упомянули в своем комментарии.