Чтобы найти многочлен

Question

Я сомневаюсь в модельном документе PRMO, который у меня был сегодня. Изображение вопроса приведено ниже (я должен был пообедать, поэтому подумал о более быстром способе задать свой вопрос и в итоге получил это):

Что пробовал :

Я это почувствовал $f(x) - x^3$может дать мне значение квадратичной части многочлена. В результате, приняв квадратичную часть к виду$ax^2 +bx + c$, я получаю следующие различия:

1. $f(1) - 1^3 = a + b + c = 0$
2. $f(2) - 2^3 = 4a + 2b + c = -4$
3. $f(3) - 3^3 = 9a + 3b + c = -18$

Я не являюсь экспертом в решении 3-х линейных уравнений с 3-мя переменными, но я попытался и закончил тем, что вырвал себе волосы (пытаясь быть немного литературным; надеюсь, вы не будете возражать против формулировок, а лучше сконцентрируйтесь на вопросе). Я попытался взять 2 уравнения за раз и получил несколько значений для одних и тех же переменных.

Я буду благодарен всем, кто готов мне помочь.

Answer 1

1. $f(1) - 1^3 = a + b + c = 0$
2. $f(2) - 2^3 = 4a + 2b + c = -4$
3. $f(3) - 3^3 = 9a + 3b + c = -18$

Третье уравнение неверно

Вычитая уравнение (1) из уравнения (2)

$ 4a + 2b + c -( a + b + c) = -4-0$

$3a +b = -4$------------------------------ уравнение (3)

Вычитая уравнение (1) из уравнения (3)

$9a + 3b + c -(4a + 3b + c) = -18-(-4)$

$5a = -22$ $a = \frac{-2}{5}$ Подставьте это во все уравнения, и вы получите ответы

Answer 2

Обратите внимание, что $f(x) = x^2$удовлетворяют трем данным уравнениям. Но мы хотим получить степень$3$ поэтому мы добавляем $(x-1)(x-2)(x-3)$ и получить $$f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) + x^2$$ с участием $f(4) = 6+16 = 22$.

Answer 3

Подсказка: подумайте $f(x)-x^2$вместо. Намного проще работать с полиномами, равными нулю в заданных точках.

Answer 4

Хотя решения с участием $x^2$ скорее всего, те, которые заданы тем, кто задает вопросы, также легко быстро получить значение $f(4)$без извлечения квадратичной с помощью конечных разностей. Позволять$g(n) = f(n) - n^3$, как и в ОП, квадратичны. Отличия первого порядка:

$$\Delta g(1) = g(2)-g(1) = -4 \\ \Delta g(2) = g(3) - g(2) = -14.$$

Таким образом, разница второго порядка равна $\Delta^2 g(1) = \Delta g(2) - \Delta g(1) = -10$, которая для любого квадратичного (или нижнего) многочлена постоянна. Следовательно$\Delta^2 g(2) = -10$, так $\Delta g(3) = \Delta g(2) -10 = -24$, и $g(4) = g(3) -24 = -42$.

Так $f(4) = 4^3 -42 = 22$.

Answer 5

У нас есть $$a+b+c=0,$$ $$4a+2b+c=-4$$ и $$9a+3b+c=-18,$$ который дает $$(a,b,c)=(-5,11,-6)$$ и $$f(x)=x^3-5x^2+11x-6.$$ Таким образом, $$f(4)=22.$$

Answer 6

Нам не нужно явно определять коэффициенты многочлена, у нас это есть благодаря уникальности

$$f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+\frac12(x-2)(x-3)-4(x-1)(x-3)+\frac92(x-1)(x-2)$$

которое по построению удовлетворяет данным условиям с $f(1)=1$, $f(2)=4$ и $f(3)=9$, тогда

$$f(4)=(3)(2)(1)+\frac12(2)(1)-4(3)(1)+\frac92(3)(2)=6+1-12+27=22$$

Как отмечают другие ответы, более хитроумно у нас это

$$f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+x^2$$

Answer 7

Дано $f(x)$ , монический кубический многочлен.

$f(1) = 1$, $f(2) = 4$, $f(3) = 9$

С помощью факторной теоремы можно показать, что $(x-1)$,$(x-2)$ и $(x-3)$ факторы $f(x) - x^2$

У нас есть три линейных фактора, поэтому мы можем написать $f(x)$ в виде,

$f(x) - x^2 = k(x-1)(x-2)(x-3)$, где k - некоторая постоянная

Но $f(x)$ является моническим многочленом, поэтому k = 1

таким образом наш полином становится, $f(x) - x^2 = (x-1)(x-2)(x-3)$

Положив x = 4,

$f(4) = 6 + 16 = 22$

Это распространенный метод решения математических задач на соревнованиях. Подробнее о нем можно прочитать здесь. https://brilliant.org/wiki/polynomial-interpolation/