Дифференциал матрицы Грама

Question

У меня есть матричнозначная функция $M=AXX^\top A^\top$, и я ищу выражение для его производной по каждому элементу $X$. Вот$A$ является $n\times n$ и $X$ является $n\times m$ с участием $m\leq n$

Итак, я ищу что-то в форме $\frac{\partial M}{\partial X_{ij}} = D^{ij}$ с участием $D^{ij}_{kl} = \frac{\partial M_{kl}}{\partial X_{ij}}$.

Копаясь в Matrix Cookbook, я не смог найти ни этого, ни более общих выражений, которые, казалось бы, были бы полезны.

Самое близкое, что я смог найти, это личность:$$\frac{\partial}{\partial X} b^\top X^\top X c = X (bc^\top + cb^\top)$$ где $b$ и $c$являются векторами. Я чувствую, что это может содержать решение, но я не уверен, как его обобщить.

Answer 1

Мы можем вычислить производную $\frac{dM}{dX}$ как производная по направлению: \begin{align*} \frac{dM}{dX}(Y) &= \lim_{t \to 0} \frac{M(X + tY) - M(X)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{A(X+tY) (X+tY)^\top A^\top - AXX^\top A^\top}{t} \, . \end{align*} Упрощая числитель, находим \begin{align*} A(X+tY) (X^\top+tY^\top) A^\top - AXX^\top A^\top &= A(X+tY) (X^\top+tY^\top) A^\top - AXX^\top A^\top\\ &= A (X X^\top + tY X^\top + tXY^\top + t^2 Y Y^\top) A^\top - AXX^\top A^\top\\ &= tA(Y X^\top + XY^\top)A^\top + t^2 A Y Y^\top A^\top \, . \end{align*} Таким образом \begin{align*} \lim_{t \to 0} \frac{A(X+tY) (X+tY)^\top A^\top - AXX^\top A^\top}{t} &= \lim_{t \to 0} \frac{tA(Y X^\top + XY^\top)A^\top + t^2 A Y Y^\top A^\top}{t}\\ &= \lim_{t \to 0} A(Y X^\top + XY^\top)A^\top + t A Y Y^\top A^\top\\ &= A(Y X^\top + XY^\top)A^\top \, . \end{align*}

Как упоминалось в комментариях, частичный $\frac{\partial M}{\partial X_{ij}}$ затем можно найти, подставив $Y = E_{ij}$, матрица с $1$ в $i,j$запись и нули в другом месте. Так\begin{align*} \frac{\partial M}{\partial X_{ij}} &= \frac{dM}{dX}(E_{ij}) = A(E_{ij} X^\top + XE_{ij}^\top)A^\top = A(E_{ij} X^\top + X E_{ji})A^\top \, . \end{align*}