Дискретные, плотные и непрерывные деревья
Предполагая, что мы используем теоретико-множественное определение дерева:
множество$T$ с частичным заказом $<$ это дерево, если для любого $t \in T$
набор $\{ s \in T : s < t \}$ хорошо заказан $<$.
https://en.wikipedia.org/wiki/Tree_(set_theory)
Мы знаем, как определять дискретные, плотные и непрерывные линейные порядки с помощью разрезов:
- Линейный порядок дискретен, если каждый его разрез является скачком;
- Линейный порядок плотен, если он не содержит скачков;
- Плотный линейный порядок непрерывен, если в нем нет пробелов.
Есть ли причина не использовать типы заказов в деревьях?
Можем ли мы таким же образом определять дискретные, плотные и непрерывные деревья?
Моя попытка:
Множество $T$ с частичным заказом $\le$ является дискретным (соответственно плотным, непрерывным) деревом, если для любого $t \in T$:
- набор $S = \{ s \in T : s \le t \}$ полностью заказан $\le$, а также
- общий порядок $S$ дискретно (соответственно плотно, непрерывно).
Если мы добавим свойство подключения:
- для любых двух элементов $x$ а также $y$ из $T$ есть элемент $z$ такой, что $z \le x$ а также $z \le y$,
похоже, что новое определение включает в себя наборы реальных деревьев:
https://en.wikipedia.org/wiki/Real_tree
Имеет ли это смысл?
Теперь предположим, что мы разделили дискретные и непрерывные деревья с помощью типа заказа.
Возьмем набор $T = \{0\} \cup \mathbb T$ с частичным порядком $x < y \iff |x| < |y|$,
где$\mathbb T = \{ z \in \mathbb C : |z| = 1 \}$ - единичный круг (https://en.wikipedia.org/wiki/Circle_group),
и$0 = (0,0)$ это центр круга.
По моему определению, $T$дискретное дерево.
Но$T$ содержит несчетное (не дискретное) подмножество $\mathbb T$.
Что это за дерево?
Ответы
В вашем примере $(\{0\}\cup\mathbb T,<)$ не знает об элементах $\mathbb T$ образуя непрерывный круг в $\mathbb C$.
Вы получите изоморфное дерево, взяв дискретный набор $X$ с мощностью $2^{\aleph_0}$ и разреши $T'=\{0\}\cup X$ с участием $0<x$ для всех $x\in X$ и элементы $X$ несравненный.