Дважды дифференцируйте простое выражение

Question

Допустим, у меня есть:

$$ y = -\frac{1}{\tan(x)} $$

Как установить связь между $\mathrm{d}^2x$ а также $\mathrm{d}^2y$ ?

Что я знаю:

$$\mathrm{d}y = \frac{\mathrm{d}x}{\sin(x)^2} $$

Answer 1

$$y=-\frac{1}{\tan(x)}=-\cot(x)$$ а также $$\frac{dy}{dx}=\csc^2(x)$$

Найти $\frac{\,d^2y}{\,dx^2}$, дифференцировать $\csc^2(x)$ еще раз, чтобы получить $$\frac{\,d^2y}{\,dx^2}=\frac{\,dy}{\,dx}\csc^2(x)=-2\csc^2(x)\cot(x)\Longrightarrow d^2y=-2\csc^2(x)\cot(x)dx^2\tag{*}$$

Потом, $$y=-\cot(x)\Longrightarrow x=\cot^{-1}(-y) $$ а сейчас, $$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{1+y^2}\Longrightarrow \frac{d^2x}{dy^2}=-\frac{2y}{(1+y^2)^2}\Longrightarrow d^2x=-\frac{2y}{(1+y^2)^2}dy^2\tag{**}$$

Из $(*)$, у нас есть

$$d^2y=2\csc^2(x)ydx^2 \Longrightarrow y=\frac{d^2y}{dx^2}\frac{\sin^2(x)}{2}$$

Заменять $y$ в $(**)$ для вашего отношения.

Не совсем уверен, какое это значение или значение; это похоже на злоупотребление обозначениями. Это будет работать только на определенных ограниченных доменах$y=-\cot(x)$

Answer 2

Подсказка :$$y^{(n)}(x)=\frac{d^ny(x)}{dx^n} \iff d^ny(x)=y^{(n)}(x)\space dx^n.$$