$I(T, \lambda) \leq 2^{\lambda}$ для каждой теории $T$, каждый кардинал $\lambda$.

Question

Позволять $T$ быть полной теорией первого порядка.

Предполагая $\lambda \geq |L(T)| + \aleph_0$, очевидно ли, что $I(T, \lambda) \leq 2^{\lambda}$? Вопрос был вызван просмотром гипотезы Воота в Википедии. У меня мало знаний по теории моделей, так что это может быть очевидно, и я просто веду себя глупо, или я могу использовать технологию, о которой я еще не рассказал. Или это возможно только тогда, когда$\lambda = \aleph_0$ ?

Единственное, что я могу придумать, - это подсчитать количество неизоморфных моделей на основе того, каким типам они соответствуют, но я не думаю, что это работает.

Answer 1

В описываемой вами обстановке не более $2^\lambda$ $L$-конструкции, и, следовательно, не более чем $2^\lambda$ классы изоморфизма моделей $T$.

Исправить $\lambda \geq |L|+\aleph_0$, и разреши $M$ быть набором мощности $\lambda$.

Для каждого $n$символ функции $f$ мы должны интерпретировать $f$ как функция $f : M^n \to M$. Есть ровно$\lambda^{(\lambda^n)} = 2^\lambda$много таких функций на выбор. Аналогично для каждого$n$-арный символ отношения мы имеем $2^\lambda$ варианты на выбор, и для каждого постоянного символа у нас есть только $\lambda$ варианты на выбор.

Таким образом, для каждого символа в языке мы имеем не более $2^\lambda$выбор. Поскольку существует не более$\lambda$ символов на языке, общее количество вариантов, которые мы должны сделать, не превышает $(2^\lambda)^\lambda = 2^{\lambda \times \lambda} = 2^\lambda$.