Интегрируйте частную производную.

Question

Я видел это $\int_{[a,b]}f'(x)=f(b)-f(a)$по основной теореме исчисления. Но что есть$\int_{\Omega}\frac{\partial}{\partial x_i}f(x_1,\ldots,x_n)$?

Answer 1

Если $\Omega$ достаточно гладко, то это

$$ \int_{\partial\Omega} f(\sigma) \nu_i(\sigma) \,d \sigma $$

где $\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_N)$ единица, указывающая наружу, нормальна к $\partial\Omega$.