Исчисление Шуберта

Question

Позволять $X = Gr(2,4)$ комплексный грассманиан $2$-самолеты в $V = \Bbb C^4$ и $S$ тавтологический пучок, $Q$фактор-расслоение. Кольцо когомологий порождается$c_1(S), c_2(S)$ с отношениями $c(S)c(Q) = 1$, происходящие из короткой точной последовательности векторных расслоений $0 \to S \to V \to Q \to 0$.

Надо получить $c_1(S)^4 = 1$чисто из этих отношений, но я не могу этого сделать. Может кто-нибудь объяснить, как это сделать?

Answer 1

Прежде всего, $c_1(S)^4 = 2$, а не 1. Само вычисление довольно просто. Позвольте мне обозначить$a_i := c_i(S)$, $b_i = c_i(Q)$. Тогда отношения$$ a_1 + b_1 = a_2 + a_1b_1 + b_2 = a_1b_2 + a_2b_1 = a_2b_2 = 0. $$ Первый дает $b_1 = -a_1$, второй дает $b_2 = a_1^2 - a_2$, а последние два дают $$ a_1^3 = 2a_1a_2, \qquad a_1^2a_2 = a_2^2. $$ Комбинация двух последних равенств дает $ a_1a_2^2 = a_1(a_1^2a_2) = (a_1^3)a_2 = 2a_1a_2^2, $ следовательно $a_1a_2^2 = 0$. Это означает, что кольцо когомологий натянуто на$\mathbb{Z}$ от $1$, $a_1$, $a_2$, $a_1a_2$, $a_2^2$, и это $$ a_1^4 = 2a_2^2 $$ что переводится в требуемое равенство $c_1(S)^4 = 2$.