K-теория $C^{*}(X)$

Question

Я новичок в K-Theory для $C^{*}$-алгебра и $C^{*}$-алгебра групп.

Если $X$ группа конечных опорных биекций натуральных чисел, то что такое K-теория $C^{*}(X)$?

Я планировал рассчитать $C^{*}(X)$ сначала, а затем его проекции и их гомотопические классы, но мне не удалось определить $C^{*}(X)$ на первом месте.

Вот определение $C^{*}$-алгебра группы:

https://pages.uoregon.edu/ncp/Courses/2016ShanghaiCrPrdFiniteGps/Slides/Lecture1_Print_NoP.pdf

Кто-нибудь может мне помочь?

Большое спасибо.

Answer 1

Описываемая вами группа должна быть бесконечной симметричной группой $S_{\infty}$. В$K$-теория своего $C^*$-алгебра была определена Керовым и Вершиком в

K -функтор (группа Гротендика) бесконечной симметрической группы https://link.springer.com/article/10.1007/BF02104985

Основной результат можно резюмировать следующим образом: Пусть $\mathcal{A}$кольцо симметрических многочленов от бесконечного числа переменных. Это изоморфно$\mathbb{Z}[a_1, a_2, \dots]$, где $a_i$ это $i$-я элементарная симметричная функция с бесконечным числом аргументов. потом$$ K_0(C^*S_{\infty}) \cong \mathcal{A}\,/\, (a_1 - 1)\mathcal{A}\ . $$ Изоморфизм отправляет неприводимое представление $\pi_{\lambda}$ соответствующей диаграмме Юнга $\lambda$ функции Шура, соответствующей $\lambda$. Это также изоморфизм колец, где кольцевая структура в левой части вытекает из наблюдения, что$$ K_0(C^*S_{\infty}) \cong \lim_n K_0(C^*S_n) $$ и умножает два представления $\pi_1 \colon S_n \to GL(V)$ и $\pi_1 \colon S_m \to GL(W)$ к $$ Ind_{S_n \times S_m}^{S_{n+m}}(\pi_1 \otimes \pi_2)\ , $$ где $S_n \times S_m$ сидит внутри $S_{n+m}$ с участием $S_n$ переставляя первый $n$ элементы и $S_m$ перестановка другого $m$.