Как я могу повысить точность результата RegionPlot для этой функции?

Aug 17 2020

У меня есть эта функция

f := 1024 (1 - (9 x^2)/4)^2 Cosh[(π x)/
    3]^2 Sinh[π x]^2 (8 (16 - 216 x^2 + 
        81 x^4 + (4 + 9 x^2)^2 Cosh[(2 π x)/3]) Sinh[π x]^2 - 
     1/256 ((4 + 9 x^2)^2 Sinh[x (2 π - y)] + 
        2 (64 - 144 x^2 + (4 + 9 x^2)^2 Cosh[(2 π x)/3]) Sinh[
          x y] - 9 (4 - 3 x^2)^2 Sinh[x (2 π + y)])^2);

Я хочу посмотреть, в каком диапазоне переменных эта функция отрицательная. Использование RegionPlot

RegionPlot[ f < 0, {y, 2, 2.25}, {x, 1.15, 1.17}, 
 WorkingPrecision -> 30, PlotPoints -> 50]

Я получаю этот сюжет

Затем, когда я уменьшу диапазоны как

RegionPlot[ 
 f < 0, {y, Rationalize[2.1299849, 0], Rationalize[2.1299855, 0]}, {x,
   Rationalize[1.15970110, 0], Rationalize[1.15970113, 0]}, 
 WorkingPrecision -> 90, PlotPoints -> 150]

Я получаю

Здесь не ясно, соприкасаются ли синие детали или нет. Как я могу более подробно узнать, является ли синяя часть непрерывной или нет?

Ответы

3 MichaelE2 Aug 17 2020 at 20:00

Простейшее решение для построения графиков

ContourPlot[f,
 {y, Rationalize[2.1299849, 0],  Rationalize[2.1299855, 0]},
 {x, Rationalize[1.15970110, 0], Rationalize[1.15970113, 0]},
 ContourShading ->
  {RGBColor[0.368417, 0.506779, 0.709798, 0.4], None},
 Contours -> {{0}},
 PlotPoints -> 25, WorkingPrecision -> 32,
 Method -> {"TransparentPolygonMesh" -> True}
 ]

Но сюжеты не всегда очень убедительны, так как созданы для того, чтобы дать лишь приблизительное представление о том, что происходит.

Аналитическое решение

Как я показал в этом ответе на аналогичный вопрос , мы можем аналитически показать, что есть узел:

jac = D[f, {{x, y}}];
cpsol = FindRoot[jac == {0, 0}, {{x, 1.15}, {y, 2.13}}, 
   WorkingPrecision -> 50];
cpt = {x, y} /. cpsol
f /. cpsol      (* shows cpt is on curve *)
f /. N[cpsol]   (* show numerical noise at cpt is substantial *)
(*
  {1.1597011139328870007473930523093558428367204499142, 
   2.1299852028277681162523681416937176426970454505325}
  0.*10^-36
  0.0119859
*)

Укрощение RegionPlot

RegionPlotразвивается с момента появления Regionфункциональности. RegionPlotпохоже, использует эту функцию для создания графика и игнорирует эту WorkingPrecisionопцию, что очевидно из числового шума. Я считаю, что функциональность области основана на функциональности FEM, которая доступна только с машинной точностью. (Точно так же вариант MaxRecursionкажется неработающим.)

Вот способ получить контроль над точностью работы:

ClearAll[fff];
fff[x0_Real, y0_Real] := 
  Block[{x = SetPrecision[x0, Infinity], 
    y = SetPrecision[y0, Infinity]},
   N[
    1024 (1 - (9 x^2)/4)^2 Cosh[(π x)/
        3]^2 Sinh[π x]^2 (8 (16 - 216 x^2 + 
          81 x^4 + (4 + 9 x^2)^2 Cosh[(2 π x)/
             3]) Sinh[π x]^2 - 
       1/256 ((4 + 9 x^2)^2 Sinh[x (2 π - y)] + 
           2 (64 - 144 x^2 + (4 + 9 x^2)^2 Cosh[(2 π x)/3]) Sinh[
             x y] - 9 (4 - 3 x^2)^2 Sinh[x (2 π + y)])^2),
    $MachinePrecision]
   ];

RegionPlot[
 fff[x, y] < 0,
 {y, Rationalize[2.1299849, 0],  Rationalize[2.1299855, 0]},
 {x, Rationalize[1.15970110, 0], Rationalize[1.15970113, 0]},
 PlotPoints -> 100]

Но одна ласточка не делает лета.

2 Hausdorff Aug 17 2020 at 20:05

Поскольку вас интересует, встречаются ли эти два региона, вы также можете использовать ContourPlot, который кажется немного более стабильным:

ContourPlot[f == 0, {y, 2.1299849, 2.1299855}, {x, 1.15970110, 1.15970113}, 
    WorkingPrecision -> 40, MaxRecursion -> 6]