Как дать эскиз набора

Question

Меня просят дать эскиз этого набора: $K = \{(x,y)\in\mathbb R^2: 13x^2-10xy+13y^2=72\}$а затем укажите точки, для которых расстояние от начала координат максимально / будет максимальным. Пожалуйста, помогите мне. Я не знаю, как это решить. заранее спасибо

Answer 1

Проанализировать данное соотношение

• Это симметрично относительно $x=y$ как обмен $x$ и $y$ дать то же уравнение
• Это симметрично относительно $x+y=0$ замена $y$ по $-x$ и $x$ по $-y$ дают то же уравнение.
• Это уравнение с двумя степенями в $x$ и $y$. Значит, это должен быть конус.
• Это не может быть круг из-за коэффициента $xy$ ненулевой
• Это не может быть параболой, потому что парабола имеет только одну ось симметрии, тогда как кривая уже имеет две.
• Коэффициенты при $x^2$ и $y^2$одного знака. Так что это тоже не может быть гиперболой.
• Таким образом, уравнение должно представлять собой эллипс с осями $x=y$ и $x+y=0$. Итак, центр находится в$(0,0)$

Итак, вам нужно найти максимальное и минимальное расстояние от точки эллипса до его центра. Очевидно, точки будут по осям. Итак, решите данное уравнение с помощью$x=y$ и $x+y=0$чтобы получить очки. Один из них будет представлять максимальное расстояние, а другой - минимальное расстояние. Остальная часть работы предоставляется читателю.

Наконец, вот так выглядит эллипс

Answer 2

Позволять $x=r\cos t, y=r \sin t$, так $$r^2(t)=\frac{72}{13-10 \sin t \cos t}=\frac{144}{26-10 \sin 2t}.$$ Так $$r^2(t)_{min}=r^2(t=3\pi/4)=\frac{144}{36},~r^2(t)_{max}=r^2(t=\pi/4)=\frac{144}{16}$$ $r_{min}=2, r_{max}=3$, это малая и большая полуоси эллипса, наклоненные под углом $3\pi/4$ и $\pi/4$ с осью абсцисс.

Answer 3

Форма уравнения должна указывать вам, что это эллипс с осями $45^\circ$повернуты от стандартных осей. Таким образом, LHS можно переписать с помощью$(x+y)^2$ и $(x-y)^2$: $$9(x-y)^2+4(x+y)^2=72$$ $$\frac{(x-y)^2}8+\frac{(x+y)^2}{18}=1$$ Поэтому ближайшие и самые дальние точки от начала координат соответствуют вершинам эллипса и имеют координаты вида $(x,\pm x)$; вы должны обнаружить, что большая и малая полуоси имеют длину$3$ и $2$ соответственно, причем большая полуось параллельна $x=y$. Оттуда вы сможете сделать набросок.