Какой ранг у вектора?

Question

Из линейной алгебры мы знаем, что ранг матрицы - это максимальное количество линейно независимых столбцов или строк в матрице. Итак, для матрицы ранг может быть определен простым сокращением строки, определителем и т. Д. Однако мне интересно, как концепция ранга применяется к одному вектору, т. Е.$\mathbf{v} = [a, \ b, \ c]^{\top}$. Моя интуиция подсказывает, что ранг должен быть равен 1, но я даже не уверен, определен ли он для вектора. Может ли кто-нибудь помочь пролить свет на эту проблему?

Заранее спасибо.

Answer 1

Вектор - это элемент в векторном пространстве. Таким образом, он не имеет ранга. Матрица в контексте линейной алгебры интересна тем, что представляет собой линейное преобразование между векторными пространствами. Нас интересует линейное преобразование, а не прямоугольник чисел, который мы называем матрицей. Линейное преобразование имеет ранг, и этот ранг является размерностью образа линейного преобразования. Это интересная концепция, поскольку это измерение того, насколько велико линейное преобразование. Так уж получилось, что когда линейное преобразование представлено в виде матрицы, ранг можно вычислить различными удобными способами.

С учетом этого внешнее сходство вектора с матрицей вводит в заблуждение. Вектор не является представлением линейного преобразования между векторными пространствами. По этой причине просто нет смысла спрашивать, каков ранг вектора.

Answer 2

Другое определение ранга матрицы - это размерность векторного пространства, охватываемого ее столбцом, поэтому любой ненулевой вектор охватывает пространство размерности 1.