Когда $an+b$ площадь?

Question

Выберите два целых числа $a$ и $b$, и построить арифметическую прогрессию $an+b$. У меня вопрос: когда здесь бесконечно много квадратов? И какие члены в этой последовательности являются квадратами (т. Е. Для которых$n$)?

Например:

• $2n+3$ бесконечно часто является квадратом (установив $n=2m^2+2m-1$ за $m\in\bf Z$),

• так же $5n+1$ квадрат, когда $n=0,3,7,16,\dots$. На этот раз формула, для которой$n$ взять не так просто, это $n=\frac{1}{8} \left(10 m^2+2 \left((-1)^m-5\right) m+(-1)^{m+1}+1\right)$.

• $9n+4$ квадрат, когда $n=9m^2+4m$, но

• $9n+5$ никогда не квадрат

• $8n+1$ квадрат, когда $n$ треугольный

Может ли кто-нибудь указать мне на общее исследование этой диофантовой проблемы, $k^2=an+b$?

Answer 1

В общем говоря, что существует бесконечно много $an + b$ быть квадратным - это то же самое, что сказать, что $b$ является квадратичным модулем вычета $a$. Потому что, если$b$ является квадратичным модулем вычета $a$, Существует $c$ такой, что $c^2 \equiv b \pmod{a}$. Обратите внимание, что все числа в виде$c + ka$ имеют свои квадраты в виде $an + b$.

Чтобы определить, $b$ является квадратичным модулем вычета $a$, есть способы вычислить это ( символ Якоби с помощью квадратичной взаимности ).