Когда периодизация функции непрерывна?
Рассмотрим функцию $f\in\mathcal{C}_0(\mathbb{R})$, где $\mathcal{C}_0(\mathbb{R})$обозначает пространство ограниченных непрерывных функций, исчезающих на бесконечности . Меня интересует$T$-периодизация такой функции, определяемая как:$$f_{T}(t)=\sum_{n\in\mathbb{Z}} f(t-nT),\quad \forall t\in \mathbb{R}.$$Как объяснено в Фишере - О двойственности дискретных и периодических функций ,$f_{T}$ это $T$-периодическое умеренное распределение, если$f$- быстро убывающая функция, т.е. исчезающая на бесконечности быстрее любого полинома.
Мой вопрос касается регулярности $f_T$:
Для каких функций $f\in\mathcal{C}_0(\mathbb{R})$ периодизированная обобщенная функция $f_{T}$определенная выше обычная непрерывная функция ?
Другими словами, какими должны быть предположения о $f$ чтобы его периодизация была непрерывной?
Любое руководство будет очень признательно. Заранее большое спасибо!
Ответы
Вам просто нужно это $f$убывает достаточно быстро, чтобы ряды сходились равномерно на компактах. Например, достаточно, чтобы$|x|^p |f(x)|$ ограничен для некоторых $p>1$. Тогда вы можете оценить члены ряда равномерно на компактном интервале$[-a,a]$ за $nT>2a$ от $cn^{-p}$ с постоянным $c$.
Краткий ответ : например, для функций Шварца .
Длинный ответ : преобразование Фурье «периодического» является «дискретным», а преобразование Фурье «дискретного» является «периодическим». Это взаимно однозначное сопоставление. Это объясняется в этом Фишере - О двойственности дискретных и периодических функций .
Аналогично, преобразование Фурье «регулярного» является «локальным», а преобразование Фурье «локального» является «регулярным». Это еще одно взаимно однозначное сопоставление. Это объясняется в книге Фишера - О двойственности регулярных и локальных функций .
Термин «регулярные» относится к обычным, бесконечно дифференцируемым функциям, которые не растут быстрее, чем полиномы. Эти (регулярные) функции являются так называемыми операторами умножения для умеренных распределений. Их продукт умножения с любым умеренным распределением снова является умеренным распределением.
Термин «локальный» относится к умеренным распределениям, которые являются «локальными», т. Е. Быстро затухают до нуля (быстрее, чем полиномы). Эти (обобщенные) функции являются так называемыми операторами свертки для умеренных распределений. Их продукт свертки с любым умеренным распределением снова является умеренным распределением.
Свойства «регулярного» и «локального» выполняют теорему свертки для умеренных распределений .
Теперь можно комбинировать свойства «периодического», «дискретного», «регулярного» и «локального». Например, «локальный + регулярный» - это функции Шварца, а преобразование Фурье функций Шварца - это снова функции Шварца («локальный + регулярный»). Более того, преобразование Фурье «дискретно-периодического» снова становится «дискретно-периодическим». Это дает дискретное преобразование Фурье (ДПФ) .
Итак, предварительным условием для обобщенных функций, которые можно периодизировать, является то, что они являются «локальными», а предварительным условием для обобщенных функций, которые могут быть дискретизированы, является их «регулярность».
Итак, возвращаясь к исходному вопросу , чтобы периодизировать функцию (обычную или обобщенную), она должна быть «локальной», а для того, чтобы позволить ей быть обычной функцией, она должна быть «регулярной». Другими словами, функции Шварца удовлетворяют этим двум требованиям : они «регулярные + локальные».
Это свойство функций Шварца быть «регулярными» и «локальными» одновременно объясняет их особую роль в качестве пробных функций в теории распределения и в квантовой физике .
Однако есть разница в «гладкости» в смысле обычных и обобщенных функций. Напомним, любая обобщенная функция гладкая (бесконечно дифференцируемая) и, следовательно, «непрерывная». Чтобы ответить на этот вопрос в смысле обычных функций, заложенных в теории обобщенных функций, есть еще функции, помимо функций Шварца. Прямоугольная функция , например, является гладким в смысле обобщенных функций , но не гладкие в обычном смысле функций. Однако его периодизация дает функцию, которая постоянно равна 1 для подходящего T, которая является гладкой обычной функцией (в частности, непрерывной). Таким образом, очевидно, что функции, которые являются непрерывными на интервале [-T / 2, + T / 2] и такие, что f (-T / 2) = f (+ T / 2), также удовлетворяют требованию.