Комбинаторная сумма

Question

• Есть идеи оценить сумму $$ \sum_{j=m}^{k}\frac{\binom{m}{2m - j\,\,}}{\binom{k}{j}} \quad\mbox{with}\quad m \leq k < 2m - 1. $$
• Я нашел сумму за $k=2m-1$. Фактически проверено, что$$ \sum_{j = m}^{2m - 1}\ \frac{\binom{m}{2m-j\,\,}} {\binom{2m - 1\,\,}{j}} = 2m\left(H_{2m} - H_{m}\right), $$ где $H_{j}$ это $j$номер -й гармоники.

Answer 1

Здесь в пакете Zeilberger от maxima ( взгляните на Petkovsek, Wilf, Zeilberger "A = B", чтобы узнать подробности) говорится, что ваша сумма не суммируема по Госперу. Значит, для него не существует простой закрытой формы.

Answer 2

В течение короткого времени я надеялся, что смогу выразить результат в терминах гипергеометрических функций, но мне это не удалось.

Если мы позволим $k=m+n$, проблема сводится к $$S_n=\sum_{j=m}^{m+n} \frac{\Gamma (j+1)\,\,\Gamma (m+n+1-j)}{\Gamma (m+n+1)} \,\binom{m}{2 m-j} $$ который может писать $$S_n=\frac{\Gamma(m+1)}{n!\ \Gamma(m+n+1)} P_{n}(m)$$ где $P_n$ является многочленом степени $2n$ (это не представляется возможным для любого $n$).

Самые первые $$\left( \begin{array}{cc} n & P_n \\ 0 & 1 \\ 1 & m^2+m+1 \\ 2 & m^4+2 m^3+m^2+4 \\ 3 & m^6+3 m^5-2 m^4-9 m^3+13 m^2+18 m+36 \\ 4 & m^8+4 m^7-10 m^6-44 m^5+53 m^4+184 m^3+100 m^2+576 \end{array} \right)$$

Мне не удалось найти какой-либо шаблон для коэффициентов [за исключением того, что постоянный член $(n!)^2$ и что коэффициент $m^{2n}$ является $1$ (!!)].

Единственное, что я заметил, это то, что если $n$ четный, срок $m$ систематически отсутствует.

Без каких-либо доказательств я не думаю, что замкнутая форма могла бы существовать для общего $n$.