Компактный интегральный оператор?

Question

Я наткнулся на интересный линейный оператор. Не уверен, компактно ли оно:$$ T: L^2([0, 1]) \rightarrow L^2([0, 1]), \quad (Tf)(x) := \int^1_0 (x-y)^2 f(y)~\mathrm{d}y. $$

Я попытался использовать следующий аргумент: пусть $(f_k)_{k \in \mathbb{N}} \subseteq L^2([0, 1])$ быть ограниченным и пусть $(f_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} \subseteq L^2([0, 1])$ - подпоследовательность со слабым пределом $f \in L^2([0, 1])$. Потом:$$ \lVert Tf_{n_k} - Tf \rVert_{L^2([0, 1])}^2 = \int_0^1 \left \lvert \int^1_0 (x-y)^2 (f_{n_k}(y) - f(y))~\mathrm{d}y \right \rvert^2 ~\mathrm{d}x \leq \sup_{x \in [0, 1]} \left \lvert \int^1_0 (x-y)^2 (f_{n_k}(y) - f(y))~\mathrm{d}y \right \rvert^2 $$ Я все еще могу доказать, что это $\sup$ достигается на некоторых $x_{n_k} \in [0, 1]$ но это мне не помогает из-за зависимости от $n_k$. В противном случае я бы использовал слабую конвергенцию на этом этапе.

Есть ли способ попроще или это даже компактный оператор?

Answer 1

Это оператор конечного ранга и поэтому компактный: $$(Tf)(x)=A\,x^2-B\,x+C,$$ где $A=\int^1_0f(y)\,dy, B=2\int^1_0y\,f(y)\,dy, C=\int^1_0y^2\,f(y)\,dy$, поэтому образ ограниченного множества - это ограниченное подмножество 3-мерного подпространства $L^2([0, 1])$.

Answer 2

Если $k(x,y)=a(x)b(y)$, где $a$ и $b$ являются непрерывными функциями на $[0,1]$, тогда $$ \int_0^1 k(x,y) f(x)\, dx = \left(\int_0^1 a(x) f(x)\, dx\right) b(y) = \langle a,f\rangle b(y). $$ Следовательно, интегральный оператор $T_k$, задаваемый интегральным ядром $k$, удовлетворяет $T_k(f) = \langle a,f\rangle b$, и, как следствие, $T_k$считается оператором первого ранга. Если вместо этого$$ k(x,y)=\sum_{i=1}^na_i(x)b_i(y), \tag{1} $$ где $a_i$ и $b_i$ снова являются непрерывными функциями на $[0,1]$, соответствующий интегральный оператор удовлетворяет $$ T_k(f) = \sum_{i=1}^n \langle a_i,f\rangle b_i, \quad \forall f\in L^2[0,1], $$ так что ранг $T_k$ самое большее $n$, следовательно, конечно.

Если мы теперь предположим, что $k$ - равномерный предел функций $k_n$ вида (1), нетрудно видеть, что $T_{k_n}\to T_k$, в операторной норме, поэтому $T_k$ компактный оператор, поскольку он является пределом операторов конечного ранга.

Теорема Стоуна-Вейерштрасса может быть легко использована, чтобы показать, что подмножество $C([0,1]\times[0,1])$ образованная всеми функциями вида (1) плотна, поэтому заключение предыдущего абзаца справедливо для любого непрерывного $k$. Это доказывает:

Теорема . Любой интегральный оператор на$L^2[0,1]$ с непрерывным интегральным ядром компактна.