Коши $n$-th root test: $\lambda_n$-th root test?

Question

Позволять $\lambda_n=n$ и $A=\overline{\lim}_n |a_n|^{\frac{1}{\lambda_n}}$. Коши ($n$-th) корневой тест утверждает, что

• $A<1 \ \implies \ \sum_n |a_n|< \infty$
• $A>1 \ \implies \ \sum_n |a_n|= \infty$

Если предположить только то: $$\frac{\lambda_n}{\log(n)}\to \infty$$ тогда мы можем доказать аналогичные утверждения:

• Если $A<1$ то по свойствам $\lambda_n$ и $\overline{\lim}$ Существует $n_0$ так что если $n\ge n_0$: $$ |a_n|^{\frac{1}{\lambda_n}}\le \sup_{k\ge n} |a_k|^{\frac{1}{\lambda_k}}< \frac{1+A}{2}=q<1 \\ $$ $$ \log(q)\frac{\lambda_n}{\log(n)}<-2 \\ $$ $$ \implies |a_n| < q^{\lambda_n} = e^{\log(q)\lambda_n} = e^{\log(n) \log(q)\frac{\lambda_n}{\log(n)}} = n^{\log(q)\frac{\lambda_n}{\log(n)}}< \frac{1}{n^2} $$

• Если $A>1$ тогда существует подпоследовательность $a_{k(n)}$ для которого $|a_{k(n)}|>1$, следовательно $a_n$ не является пустой последовательностью.

Случаи использования:

• 1 $$ \sum_n \frac{1}{3^{\sqrt{n}}}<\infty\ \hspace{2cm} \lambda_n=\sqrt{n}\\ $$

• 2 $$ \sum_n \frac{n}{e^{\sqrt{n}}}<\infty\ \hspace{2cm} \lambda_n=\sqrt{n}\\ $$

• [1] + [2] $$ r>1,\ \alpha, \beta>0\ \ \ \implies \sum_n \frac{n^\beta}{r^{n^\alpha}}<\infty\ \hspace{2cm} \lambda_n=n^{\alpha}\\ $$

Вопросов:

• Правильный ли вывод?
• Я думаю, что это игрушечный тест, но для некоторых последовательностей он предоставляет обычный способ изучения сходимости. Что вы думаете об этом?

Answer 1

Вывод теста правильный. Я не уверен, насколько полезен тест на практике, поскольку я не вижу примеров, где этот тест работает, и его применение простое, но применение сравнительного теста (или, в случае монотонных последовательностей как и ваши примеры, интегральный сравнительный тест или тест конденсации) будет значительно сложнее.

Ваш тест в этих примерах проще, но я пока не могу сказать, достаточно ли большой выигрыш в простоте, чтобы перевесить бремя запоминания еще одного теста.

Но даже если это окажется не очень полезным на практике, было неплохо придумать его.