Квантовое унитарное преобразование

Question

В квантовой механике мы знаем $\dot{\psi}=-\frac{i}{\hbar}H\psi$,

но почему $U\dot{\psi}=-\frac{i}{\hbar} \left(UHU^\dagger \right) U\psi$?

Значит ли это $UHU^\dagger = H$? я думаю$UU^\dagger H = H$, но почему мы можем изменить здесь порядок матриц?

Answer 1

Вы слишком много думаете об этом, предполагая $U$ унитарен:

$$ U\dot\psi= -\frac{i}{\hbar} UH\psi=-\frac{i}{\hbar} UH\mathbb 1\psi= -\frac{i}{\hbar} UHU^\dagger U\psi.$$

$U$ не обязательно должен быть оператором эволюции во времени, и он не должен коммутировать с $H$для этого он может быть любым унитарным. Это просто означает, что если вы напишете$\psi$в другом базисе он эволюционирует с гамильтонианом, записанным в новом базисе. (Или, что то же самое, повернутый вектор эволюционирует вместе с повернутым гамильтонианом).

Answer 2

1. Если гамильтониан $\hat{H}$ не зависит от времени, и $U$ предполагается оператором эволюции во времени, то $$\hat{U}~=~\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}\Delta t\right),\tag{A}$$ который коммутирует$^1$ с участием $\hat{H}$, так что $$UHU^{\dagger} ~=~ H,\tag{B}$$ср. Вопрос ОП.

2. Если гамильтониан $\hat{H}$действительно зависят от времени, тогда экв. (A) и (B) необходимо изменить, ср. например, это сообщение Phys.SE.

-

$^1$ Функция $f(\hat{H})$ из $\hat{H}$ ездит с $\hat{H}$, ср. например, это и это сообщения Phys.SE.

Answer 3

user2723984 правильный. Однако вторая часть вашего вопроса остается нерешенной: если гамильтониан коммутирует сам с собой в разное время, то единственный оператор в$U$ является $H$ и, как $H$ коммутирует сам с собой, тогда порядок операторов может быть изменен.