Логика предикатов и вывод

Question

Предположим, что данные три предиката представлены ниже:

$H(x)$: $x$ это лошадь

$A(x)$: $x$ это животное

$T(x,y)$: $x$ это хвост $y$

Затем преобразуйте следующий вывод в логический вывод, используя выражения логики предиката, и докажите, действителен ли вывод (например, используя естественный вывод):

Лошади - животные.

---

Лошадиные хвосты - это хвосты животных.

Мои мысли: Я неплохо умею переводить логические выражения предикатов, но здесь я изо всех сил пытался придумать формулу для хвостов Лошадей. Моя первоначальная идея заключалась в том, чтобы рассмотреть подобное предложение, такое как «w - конский хвост», чтобы сформировать требуемый вывод, но это не увенчалось успехом. Будем рады услышать ваши идеи по поводу этой задачи.

Answer 1

Как правильно предложено в Lemontree's https://math.stackexchange.com/a/3840664/288417, «Конские хвосты - это хвосты животных» можно формализовать как $\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to A(y) \big)$ или точнее, $\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)$.

Конечно, аргумент

$\frac{\text{Horses are animals}}{\text{Horses' tails are tails of animals}} \quad \text{i.e.} \quad \frac{\forall y (H(y) \to A(y))}{\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)}$

является действительным. Во-первых, я даю вам неофициальное доказательство этого.

Мы хотим доказать, что $\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)$, согласно гипотезе $\forall y (H(y) \to A(y) )$. Итак, исправим произвольные особи$x$ а также $y$ и предположим, что $H(y) \land T(x,y)$, мы должны показать, что $A(y) \land T(x,y)$. Поскольку по гипотезе$\forall y (H(y) \to A(y) )$, следовательно $H(y) \to A(y)$ справедливо для конкретного $y$мы выбрали. Более того, мы предполагаем, что$H(y) \land T(x,y)$ и в частности $H(y)$держит. По modus ponens , от$H(y) \to A(y)$ а также $H(y)$ следует, что $A(y)$. Кроме того, поскольку мы предполагаем, что$H(y) \land T(x,y)$, особенно $T(x,y)$держит. Так,$A(y) \land T(x,y)$. Таким образом, мы доказали, что для произвольного$x$ а также $y$, если $H(y) \land T(x,y)$ тогда $A(y) \land T(x,y)$. Таким образом,$\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)$ выполняется, согласно гипотезе $\forall y (H(y) \to A(y))$.

Вы можете формализовать это доказательство с помощью естественного вывода следующим образом:

$$ \dfrac {\dfrac {\dfrac {\dfrac{\dfrac{\forall y (H(y) \to A(y))}{H(y) \to A(y)}\forall_\text{elim} \qquad \dfrac{[H(y) \land T(x,y)]^*}{H(y)}\land_\text{elim}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}{A(y)}\to_\text{elim} \quad \dfrac{[H(y) \land T(x,y)]^*}{T(x,y)}\land_\text{elim}} {A(y) \land T(x,y)}\land_\text{intro}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! } {(\!\!\!\!\!\!\!\!H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))} \to_\text{intro}^*\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! } {\dfrac {\forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)} {\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)} \forall_\text{intro} } \forall_\text{intro} $$

Answer 2

Подсказки:

"$x$ это $P$"хвост" означает, что $x$ это хвост $y$ а также $y$ это $P$.

«Конские хвосты - это хвосты животных» означает, что для всех хвостов $x$ и хвостоносцы $y$, хвост, являющийся хвостом лошади, подразумевает, что хвост является хвостом животного (где "быть $P$"хвост" вставьте определение выше).

При соответствующей формализации этого пересказа можно найти формальное доказательство вывода.