Мининальные левые идеалы $M_n(\mathbb{C})$

Question

Позволять $M_n(\mathbb{C})$ быть кольцом $n\times n$матрицы со сложными элементами. Позволять$I$ - минимальный левый идеал в $M_n(\mathbb{C})$. Как я могу доказать, что существует$i\in\{1,\ldots,n\}$ такой, что $I$ - это набор матриц, у которых есть нулевые столбцы, кроме, возможно, $i$й один?

Я попытался использовать это , но до этого не дошел. Любая помощь?

Я пытаюсь понять следующее доказательство Фултона-Харриса, где они, кажется, используют этот факт.

Answer 1

Вы не можете, потому что это предложение неверно.

Например, $\left\{\begin{bmatrix}a& a\\ b&b\end{bmatrix}\middle|\,a,b\in\mathbb C\right\}$ является минимальным левым идеалом и не той формы, которую вы описываете.

Нужна помощь, чтобы понять, почему это минимально? Я согласен с этим

$$ L=\left\{\begin{bmatrix}a& 0\\ b&0\end{bmatrix}\middle|\,a,b\in\mathbb C\right\} $$ также является минимальным левым идеалом, и я предлагаю $Lu$ где $u$ это единица $\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}$, поэтому они изоморфны как $M_2(\mathbb C)$ модули.