«Мнимая» часть кватерниона

Question

С комплексными числами пишем $Im(z)$ для обозначения мнимой части комплексного числа $z$. Мне было интересно, что$Im(q)$, где $q$ - кватернион, покажет: будет ли это $i$ часть кватерниона или все $i$, $j$, и $k$части? И если он показывает все три части, есть ли обозначения для отображения каждой из отдельных частей?

Если это неясно, если $q = 1 + 2i + 3j + 4k$, было бы $Im(q)$ быть $2i + 3j + 4k$ (или, возможно, вектор $(2, 3, 4)$) или просто $2$? А как бы вы отдельные части$3$ и $4$ отдельно?

Answer 1

Обычно мнимая часть $a+bi+cj+dk$ является $bi+cj+dk$. Если я хочу поговорить, скажем,$c$, то упоминаю коэффициент при $j$.

Answer 2

Действительная и мнимая части кватернионов четко определены. Рассмотрим кватернион$w+ix+jy+kz$. Часто мы записываем кватернион как четырехмерный вектор$q=[w,x,y,z]^T$. Теперь определим действительную часть$$ \operatorname{Re}q = w \qquad\text{and}\qquad \operatorname{Im}q = \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}. $$

Это действительно полезно, поскольку вы можете представлять кватернионы $q$ в полярной форме $$ q = r\exp\biggl(\begin{bmatrix}0\\\mathbf{v}\end{bmatrix}\biggr), $$ где $r=\lVert q\rVert_2$ умножается на экспоненту чисто мнимого кватерниона $[0,\mathbf{v}^T]^T$. Это очень похоже на$$ z = r\mathrm{e}^{i\phi},$$ где $z$ комплексное число, $r=|z|$ и $i\phi$ это чисто мнимое число.

Если вы просто хотите, чтобы фактор был перед одним из $i,j,k$см. ответ Хосе.