Модель Hull White Extended Vasicek

Question

Я пытаюсь понять формулу из знаменательной статьи Hull & White «Оценка производных ценных бумаг с процентной ставкой» (1990). Я не вижу, как перестановка (11) и применение граничных условий приводит к (13) на странице 6 (как показано ниже).

Пожалуйста, не могли бы вы дать мне указатель и извинения, если это мой элементарный расчет ошибается.

Answer 1

Вы правы, уравнение (11) механически выводится из (7) (взяв производную по $T$а затем объединение с (7)), и почему-то они думают, что (13) может быть получено из (11) без запоминания (7). Может быть, грамотно интегрировав (обратите внимание, например, что$B_tB_T - BB_{tT}$ числитель производной по $t$ фракции $B/B_T$) и используя граничное условие (я не мог понять).

Конечно, мы можем решить линейное уравнение первого порядка в$t$ (7)

$$ B_t = a(t)B-1. $$

С обычными примитивными функциями:

$$ \alpha'(t) = a(t), \; \; \beta'(t) = -{\rm e}^{-\alpha(t)}, $$

общее решение уравнения (7) есть

$$ B(t,T) = c(T){\rm e}^{\alpha(t)} + {\rm e}^{\alpha(t)}\beta(t), $$

с участием $c(T)$ произвольная функция $T$.

Так как $B(T,T)=0$, мы должны иметь:

$$c (T)= -\beta(T).$$

Так:

$$ B(t,T) = -{\rm e}^{\alpha(t)} \left(\beta(T) - \beta(t)\right).$$

Затем мы можем легко проверить, что это решение соответствует (13):

$$ B(0,T) = -{\rm e}^{\alpha(0)} \left(\beta(T) - \beta(0)\right) $$

$$ B(0,t) = -{\rm e}^{\alpha(0)} \left(\beta(t) - \beta(0)\right) $$

$$\partial B(0,t)/\partial t = -{\rm e}^{\alpha(0)}\beta'(t) = {\rm e}^{\alpha(0)} {\rm e}^{-\alpha(t)}$$

Изменить : обратите внимание, что (11) можно записать как:

$$ (B_T)_t =\frac{1-B_t}{B}B_T $$ что эквивалентно $$ (\ln B_T)_t = \frac{1-B_t}{B}. $$

Здесь мы должны помнить из (7), что правая часть является функцией $t$ только, $a(t)$, иначе продвигаться дальше будет затруднительно. Решение$$ B_T = {\rm e}^{\alpha (t) + \gamma (T)} $$ для $ \gamma (T)$ произвольная функция $T$. Интеграция с$T$, мы получаем:

$$ B(t,T) = {\rm e}^{\alpha (t)} (\Gamma (T) + \eta (t)) $$ для $ \eta (t)$ произвольная функция $t$ и $\Gamma^\prime = {\rm e}^{\gamma}$.

Граничное условие $B(T,T)=0$ затем заставляет:

$$\Gamma(T) = -\eta(T). $$

Так,

$$B(t,T) = -{\rm e}^{\alpha(t)} \left(\eta(T) - \eta(t)\right).$$

Еще раз, отмечая, что

$$ B_t = -{\rm e}^{\alpha(t)}a(t)\eta(T) + {\rm e}^{\alpha(t)}a(t) \eta(t) + {\rm e}^{\alpha(t)} \eta^\prime (t),$$

(7) тогда следует:

$$\eta(t) = \beta(t). $$