Найдите минимум $P = (a - b)(b - c)(c - a)$

Question

Данный $a, b, c$ настоящие числа такие, что $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca + 6$. Найдите минимум$$P = (a - b)(b - c)(c - a)$$

Мое решение:

• У нас есть:

$$a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca + 6$$ $$\implies 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 2ab + 2bc + 2ca + 12$$ $$\implies (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 12$$

• Используя неравенство AM-GM, мы имеем:

$$(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \geq 3 \sqrt[3]{((a - b)(b - c)(c - a))^2}$$ $$\implies 3 \sqrt[3]{P^2} \leq 12$$ $$\implies -8 \leq P \leq 8$$

• Следовательно, $\min P = -8$

Это правильное решение? Если нет, то почему?

Answer 1

WLOG $a\ge b\ge c$ и разреши $x=a-b,y=b-c,z=c-a$

Мы наблюдаем $x+y+z=0$ с участием $x,y\ge 0$.и как вы нашли $x^2+y^2+z^2=12$

Устранение $z$ приводит к: ${(x+y)}^2=6+xy ...(1)$

поскольку ${(x+y)}^2\ge 4xy$ что значит $0\le xy\le 2$

позволять $xy=t$

поскольку $0\le t\le 2$

Сейчас же $x^2y^2z^2=t^2(6+t)\le 6.2^2+2^3=32$.... (используя (1) и $z=-(x+y)$)

или $|xyz|\le 4\sqrt{2}$

Answer 2

Неравенство $$(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \geq 3 \sqrt[3]{((a - b)(b - c)(c - a))^2}$$ стать равенством, когда $a-b=b-c=c-a,$ или $a=b=c,$ но для этого значения тогда $$(a-b)(b-c)(c-a)=0 \ne -8.$$ Это мое решение, у нас есть $$P^2 = \frac{4(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)^3-(a+b-2c)^2(b+c-2a)^2(c+a-2b)^2}{27} \quad (1)$$ $$\leqslant \frac{4}{27}(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)^3.$$ Следовательно $$P^2 \leqslant \frac{4}{27}(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)^3 = 32,$$ или $$-4\sqrt 2 \leqslant (a-b)(b-c)(c-a) \leqslant 4\sqrt 2.$$ Так $P_{\min} = -4\sqrt 2,$ равенство происходит, когда $a=1,\;b=1+2\sqrt 2,\;c=1+\sqrt 2.$

Заметка. Как найти постоянную$\frac{4}{27}?$

Для $(a-b)(b-c)(c-a) \ne 0,$ установка $x=a-b,\,y=b-c,$ тогда $$F = \frac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)^3} = \frac{x^2y^2(x+y)^2}{(x^2+xy+y^2)^3}.$$ От $x^2+xy+y^2 \geqslant \frac{3}{4}(x+y)^2$ и неравенства AM-GM имеем $$F \leqslant \frac{64}{27} \cdot \frac{x^2y^2}{(x+y)^4} \leqslant \frac{4}{27}.$$ Из этого доказательства получаем $$\frac{4}{27}- \frac{x^2y^2(x+y)^2}{(x^2+xy+y^2)^3}=\frac{(x-y)^2(2y+x)^2(2x+y)^2}{(x^2+xy+y^2)^3}.$$ Это эквивалент идентичности $(1).$

Answer 3

С помощью $x=a-b,y=b-c$, тогда $-(x+y)=c-a$, так $P=-xy(x+y)=-(x^2y+xy^2)$.

Условие $(a−b)^2+(b−c)^2+(c−a)^2=12$ становится $g=x^2+y^2+xy=6$.

Теперь с помощью множителей Лагранжа: \begin{align} \nabla P&=-\langle2xy+y^2,x^2+2xy\rangle\\ &=-\langle y(2x+y),x(x+2y)\rangle\\ \\ \nabla g&=\langle2x+y,x+2y\rangle \end{align}

Теперь позволяя $$\nabla P=\lambda\cdot\nabla g$$ $$\lambda=-y,\,\lambda=-x$$ Так $x=y$, подключив это обратно $g$: $$3x^2=6$$ $$x=\pm\sqrt2$$ Тогда крайние значения $P$ находятся: $$P=-2\cdot\pm2\sqrt2=\pm4\sqrt2$$

Answer 4

Нам нужно показать, что ценность $-8$ происходит, иначе нельзя сказать, что это минимальное значение.

Кстати, можно доказать, что минимум $-4\sqrt2.$

В самом деле, нам нужно доказать, что $$(a-b)(b-c)(c-a)\geq-4\sqrt2\left(\sqrt{\frac{\sum\limits_{cyc}(a^2-ab)}{6}}\right)^3,$$ которые легко получить AM-GM после замены $a-b=x$, $b-c=y$.

Answer 5

Свести к минимуму $P = (a-b)(b-c)(c-a)$

данный $(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 12$

WLOG, скажем $a \ge b \ge c, \, a - b = x, a - c = y$ где $x \ge 0, y \ge x$

который дает,

$P (x,y) = xy(x-y)$ ...(я)

$\, G(x,y) = x^2 + y^2 + (x-y)^2 - 12 = 0$ ... (ii)

Используя Лагранжа,

$Q(x,y) = P (x,y) + \lambda G(x,y) = xy(x-y) + \lambda (2x^2 + 2y^2 -2xy - 12)$

Ты получаешь $\, 2xy-y^2 + \lambda(4x - 2y) = 0$ .. (iii)

$\, x^2-2xy + \lambda(4y - 2x) = 0$ ... (iv)

Из (iii) и (iv),

Ты получаешь $y = 2x, x = 2y$

Принимая $y = 2x$ (так как $y \ge x$) и подставив в (ii), вы получите $x = \sqrt 2$

Из (i), что дает min $\, P = -4\sqrt2$

Answer 6

Позволять $x = a - b, y = b-c, z = c-a$. Тогда у нас есть$x^2 + y^2 + z^2 = 12$ и $x + y + z = 0$. Также у нас есть$xy + yz + zx = \frac{(x+y+z)^2 - (x^2+y^2+z^2)}{2} = -6$. Нам нужно найти минимум$xyz$.

Позволять $p = x + y + z = 0, q = xy + yz + zx = -6$ и $r = xyz$. Легко доказать, что$$-4p^3r+p^2q^2+18pqr-4q^3-27r^2 = (x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2 = 27(32-r^2)\ge 0$$ что приводит к $-4\sqrt{2} \le r \le 4\sqrt{2}$. Кроме того, когда$x = \sqrt{2}, y = -2\sqrt{2}, z= \sqrt{2}$ (например $a = -\sqrt{2}, b= -2\sqrt{2}, c = 0$), у нас есть $xyz = -4\sqrt{2}$. Таким образом, минимум$xyz$ является $-4\sqrt{2}$.

Реплика: Собственно, $-4p^3r+p^2q^2+18pqr-4q^3-27r^2$ дискриминант $u^3 - pu^2 + qu - r = 0$.