«Настоящий эффект бабочки»
Этот вопрос возникает из-за замешательства, которое я испытываю после прочтения популярного сообщения в блоге Сабины Хоссенфельдер. Он основан на этой , к сожалению, платной бумаге.
Претензия следующая:
Скорее, как было представлено в своей статье Tellus 1969 года, Лоренц имел в виду эту фразу для описания существования абсолютного барьера предсказуемости конечного времени в некоторых многомасштабных жидкостных системах, подразумевая нарушение непрерывной зависимости от начальных условий для достаточно больших сроков прогноза.
Нарушение непрерывности стало для меня полной неожиданностью, и, по сути, вот мой черновик доказательства обратного:
- Рассмотрим линейное векторное пространство функций с компактным носителем над фазовым пространством, дополненное обычным $L_2$ норма.
- Определим действие (классического) гамильтониана на функции как $ \hat{H} A = - i \left\{H, A \right\}_{PB}$. Обратите внимание, что с этим определением оператор является самосопряженным (можно доказать аргументом, включающим интегрирование по частям).
- По теореме Стоуна должна существовать сильно непрерывная 1-параметрическая группа временных трансляций, следовательно, нарушение непрерывной зависимости от начальных условий невозможно.
Поскольку мой вывод явно противоречит заключению в аннотации Палмера и др., Я хотел бы знать, что именно идет не так, что может привести к барьеру предсказуемости конечного времени в системах, демонстрирующих «настоящий эффект бабочки».
Обновление: гораздо более простой аргумент моего друга: взять$U(T/2)$ (оператор эволюции, связанный с интервалом времени $T/2$ где $T > 0$является предполагаемым барьером предсказуемости). По построению он непрерывен, так как$T / 2 < T$. Следовательно,$U(T/2)^4 = U(2T)$также непрерывно. Это позволяет нам заглянуть в будущее, более далекое, чем барьер с непрерывным оператором, что противоречит исходному предположению. Мы делаем вывод, что$T$ должно быть либо бесконечным, либо нулевым.
Ответы
Есть некоторые проблемы с публикацией на сайте. Я не могу понять, как перейти от уравнений Навье-Стокса , которые являются УЧП , к некоторой системе ОДУ (уравнениям Лоренца?), Которые, кажется, являются предметом обсуждения (также глядя на формулировку вопроса профессором Леголасовым). К сожалению, у меня нет доступа к бумаге.
С чисто математической точки зрения все ясно, поэтому проблема должна касаться физического моделирования : некоторая поломка математического описания должна иметь место на каком-то уровне по физическим причинам, но без чтения статьи это трудно обсуждать.
Вот краткое описание математического сценария зависимости от исходных данных.
Каждую (автономную) систему ОДУ как систему Лоренца можно записать как$$\frac{dx}{dt} = F(x(t))\tag{1}$$ где $x\in M$, $M$ быть некоторым $C^k$ коллектор и $F$ а $C^k$ векторное поле на $M$ с участием $k\geq 1$.
Стандартный результат теории ОДУ: если $x=x(t|x_0)$ - максимальное решение уравнения (1) с начальным условием $x(0)= x_0\in M$, таким образом определенная в открытом интервале $I_{x_0}\ni 0$, тогда
(1) множество $$D:= \left\{(t,x_0) \in \mathbb{R}\:\left|\: t \in I_{x_0}, x_0 \in M \right.\right\}$$ открыт в $\mathbb{R}\times M$
(2) карта $$\Phi : D\ni (t,x_0) \mapsto \Phi_t(x_0):= x(t,x_0) \in M$$ совместно $C^k$ (и $C^{k+1}$ в переменной $t$).
Следовательно, в полной области решения существует $C^k$(следовательно, непрерывная) зависимость образуют исходные данные. В частности, при исправлении некоторых$T$, карта $$M_T \ni x \mapsto \Phi_T(x)\:,$$ где $M_T = \{x \in M \:|\: (x,T) \in D\}$, обязательно непрерывно.
Если вместо этого мы будем иметь дело с собственными PDE, точнее с уравнениями Навье-Стокса, все будет гораздо более деликатным и, как очень хорошо известно,. Просто доказательство теоремы существования и единственности для заданных начальных данных (которые теперь являются функциями) проблематично. Непрерывная зависимость от начальной даты еще более проблематична.
Что касается предложения профессора Леголасова, у меня с ним есть проблемы.
(а) Мы имеем в виду систему ОДУ Лоренца? Это негамильтоново, так как многообразие имеет нечетную размерность.$H$?
(б) Используем ли мы вместо этого некоторую несимплектическую пуассоновскую структуру?
(c) Далее, даже имея в виду $L^2(M)$ (какая мера?) над пуассоновым многообразием $M$, $$-i\{H, \cdot\} : C^\infty_c(M) \to L^2(M)$$ симметричен, например, в $\mathbb{R}^{2n}$относится к естественной евклидовой структуре и стандартной симплектической структуре в ортонормированных декартовых координатах, но она не обязательно является по существу самосопряженной (по существу самосопряженность УЧП на римановых многообразиях является деликатным вопросом, и общие результаты известны для эллиптических операторов и$-i\{H, \cdot\}$ не является эллиптической вообще (какая риманова метрика вообще, когда мы наделены только пуассоновой структурой?)).
(d) Наконец, даже если мы построим унитарную сильно непрерывную группу, порожденную некоторым самосопряженным расширением $-i\{H, \cdot\}$, Я не могу увидеть связь с непрерывной зависимостью от начальных данных ОДУ, связанной с $H$.
Вот чего, вероятно, не хватает.
Этот предел предсказуемости требовал наличия механизма обратной связи, который работал на каждом временном шаге моделирования. Обратная связь кумулятивно увеличивает чувствительность к начальным условиям и усиливает эффекты ошибок округления и дискретизации в алгоритмах и, таким образом, заставляет систему расходиться после определенного количества итераций. Этот эффект не наблюдается, если обратная связь нарушена.