Необходимо, но недостаточно
Этот вопрос уже задавали здесь дважды, а именно здесь и здесь , но ни один из ответов не касается моего конкретного вопроса, за исключением, вероятно, этого ответа , который близок.
Итак, используя обозначение подробного ответа, я не понимаю, почему я должен исключать кортежи $(T,T)$ и $(F,F)$.
Назовем предложение «Q необходимо, но недостаточно для P» R.
Что касается $(F,F)$, если P ложно, когда Q также ложно, это должно привести к R = true; поскольку Q необходимо для P, поэтому отсутствие Q должно означать отсутствие P. Почему я должен, чтобы R было ложным в этом случае?
И для $(T,T)$, Представлю более полную картину. Предположим, что P зависит от Q и некоторых других факторов, вместе называемых W. Теперь мы должны разделить строку$(T,T)$на 2, один с W ложным, а другой с W истинным. В случае с W true, R должно оцениваться как T, а в случае с W false, R должно оцениваться как false. На каком основании тогда мы должны решить исключить$(T,T)$в исходном заявлении! На мой взгляд, ряд с$(T,T)$ должно быть неразрешимым.
Буду признателен, если кто-нибудь сможет объяснить мне, почему правильный ответ $¬(¬r∧¬p)→¬q∧¬((¬r∧¬p)→q)$ другим способом
«необходимо» переводится как «то-то и то-то», а «достаточно» переводится как «то-то и то-то», поэтому соединение первого с отрицанием второго дает правильный ответ.
благодаря
Ответы
Заявление "$P$ необходимо для $Q$«означает», чтобы иметь $Q$, мы должны иметь $P$" или же $Q \to P$, хотя мы также можем написать контрапозитив $\neg P \to \neg Q$.
Заявление "$P$ достаточно для $Q$"означает", если у нас есть $P$, у нас определенно есть $Q$" или же $P \to Q$, хотя мы также можем написать контрапозитив $\neg Q \to \neg P$.
Итак, заявление "$P$ необходимо, но недостаточно для $Q$"можно записать как $$(\neg P \to \neg Q) \land \neg (P \to Q).$$ В приведенном вами примере $Q = q$ в то время как $P = \neg r \land \neg p$ в связи со спецификой другого вопроса, и если мы заменим их на $P$ и $Q$, мы получаем утверждение, которое вы цитируете.
Если внимательно посмотреть на логическое утверждение, окажется, что $(\neg P \to \neg Q) \land \neg (P \to Q)$ верно только в одном случае: когда $P$ правда, но $Q$ложно. Это почему? Потому что для наблюдения$P$ недостаточно для$Q$, $P$ должно произойти, и $Q$ должно все еще не произойти.
Это не соответствует нашим представлениям о том, что "$P$ необходимо, но недостаточно для $Q$"означает. Мы хотим сказать что-то вроде:
В некоторых случаях $P$ бывает, и $Q$ нет, потому что $P$ не достаточно для $Q$. Однако во всех случаях, когда$Q$ случается, $P$ также бывает: $P$ необходимо для $Q$.
Чтобы говорить такие вещи, недостаточно языка логических утверждений! У нас должны быть количественные показатели, чтобы говорить о «некоторых случаях» и «всех случаях».
Позволять $P(x)$ и $Q(x)$ обозначать "в случае $x$, $P$ держит "и" в случае, если $x$, $Q$ держит ". Тогда:
- "$P$ необходимо для $Q$" средства $\forall x\, Q(x) \to P(x)$.
- "$P$ достаточно для $Q$" средства $\forall x\, P(x) \to Q(x)$. Его отрицание упрощает$\exists x\, P(x) \land \neg Q(x)$.
Заявление "$P$ необходимо, но недостаточно для $Q$"имеет более сложную интерпретацию $$ (\forall x\, Q(x) \to P(x)) \land (\exists x\, P(x) \land \neg Q(x)). $$ То есть: «Во всех случаях $x$ где $Q(x)$ держит, $P(x)$также имеет место. Однако есть случай, когда$P(x)$ держит, но $Q(x)$ не".
Голое заявление вроде $P(x) \land Q(x)$ не является ни истинным, ни ложным, потому что $x$не определяется количественно. Универсальное заявление$\forall x\, P(x) \land Q(x)$ ложно (иначе $P$ было бы достаточно для $Q$), но возможно, что $\exists x\,P(x) \land Q(x)$правда. Это то, что вы хотите сказать, когда говорите: "На мой взгляд, строка с$(T,T)$ должен быть неразрешимым », но без квантификаторов мы не можем говорить об этом: без квантификаторов строки не могут быть неразрешимыми.
Проблема здесь в том, что вы рассматриваете материальный подтекст, символизируемый логической связкой $\to$, как если бы это было повседневное понятие импликации; это не так.
'$Q$ достаточно для $P$означает именно то, что если $Q$ верно, тогда $P$должно быть правдой; мы формализуем это как$Q\to P$. Если$P$ и $Q$ оба ложны, это пустая правда, поскольку ничего не говорится об истинности $P$ когда $Q$ложно. Так просто работает материальный подтекст. Таким образом,$R$ должно быть ложным, когда $P$ и $Q$ оба ложны, так как в этом случае $Q$ является достаточным для$P$.
Смысл также верен, когда оба $P$ и $Q$ верны просто потому, что $P$правда; опять же, именно так работает материальный подтекст. Интуитивно понятный смысл$Q\to P$ имеет ценность истины $F$ только тогда, когда его ложность действительно может быть продемонстрирована на основе истинных значений $P$ и $Q$, и это только тогда, когда $Q$ правда и $P$ложно. Во всех остальных случаях его истинностное значение равно$T$. Таким образом,$R$ также должно быть ложным, когда $P$ и $Q$ оба верны.
Чтобы сказать одно и то же несколько другими словами, ни $(F,F)$ ни $(T,T)$ исключает возможность того, что $Q$ достаточно для $P$, в одном случае, потому что у нас нет $Q$, а в другом случае, потому что у нас есть $P$. Единственный случай, который фактически исключает возможность того, что$Q$ достаточно для $P$ является $(F,T)$. Если мы утверждаем, как$R$ делает, что $Q$является не достаточным для$P$, мы исключаем возможность того, что $Q$ достаточно для $P$, поэтому мы утверждаем, что $P$ ложно и $Q$ правда.