Непеременные диаграммы узлов
Начните с замкнутой самопересекающейся кривой, где каждое пересечение является поперечным. Теперь сформируйте что-то вроде противоположной диаграммы чередующихся узлов следующим образом. Начиная с любого места, пройдите кривую и на каждом ранее не посещенном пересечении пройдите над/выше. Если переход уже посещался ранее, оставьте назначенное обозначение перехода.
Два примера показаны ниже. (а) явно незавязанный. (b) также является развязкой, возможно, не так очевидно.
Красный кружок указывает начальную точку, стрелка указывает направление движения.
Я ожидал, что эти диаграммы, очевидно, представляют развязку, но я не вижу ясного доказательства. Так:
В . Докажите (или опровергните), что такая диаграмма узла всегда представляет неузел.
Ответы
Диаграмма, которую вы описываете, называется нисходящей диаграммой и действительно всегда приводит к тривиальному узлу. Доказательство см. в лемме 3.2.10 изhttp://www.math.ucsd.edu/~justin/Roberts-Knotes-Jan2015.pdf. Предыдущий ответ имеет правильную идею.
Это всегда незавершенное. Меня познакомил с этим мой советник, но я не думаю, что изначально это был его аргумент, поэтому я не знаю, кто сделал это первым.
Чтобы убедиться в этом, воспользуемся тем фактом, что номер моста узла равен единице тогда и только тогда, когда узел является развязанным.
Нарисуйте свою проекцию узла и выберите начальную точку. Мы превратим эту проекцию в диаграмму, делая только пересечения при обходе проекции. Если проекция нарисована в$x,y$самолет, где$z=0$, мы можем создать узел в$\mathbb{R}^3$делая каждый$i$-го нового пересечения мы подходим к уровню$z=i$. Таким образом, когда мы встретили все пересечения в проекции и собираемся вернуться к первому пересечению, наш узел в 3-мерном пространстве должен упасть с некоторой высокой точки.$z$значение обратно к$z=0$.
У нас есть функция высоты, в которой узел строго возрастает везде, кроме небольшого отрезка между последним пересечением и первым пересечением. Таким образом, есть один максимум и один минимум, и, следовательно, узел моста номер 1, развязанный.
Не уверен, насколько полезно, так как я не эксперт, но вот идея, которая может быть правильной.
Во-первых, введите третье измерение, перпендикулярное вашему рисунку, и убедитесь, что «начальная» точка является проекцией сегмента, идущего прямо «вверх». Затем должна быть возможность разместить остальную часть узла так, чтобы, идя вдоль линии, вы спускались только вниз. Представьте себе хаотичное движение (с почти вертикальной лестницей, ведущей вверх), и вы поймете, что я имею в виду. Теперь это немного волнообразно, но я считаю, что вы можете просто назначить фиксированную высоту для каждого из пересечений, когда вы проходите через них по пути «вниз», а затем распространить на все другие точки на узле. (Например, если часть «лестницы» поднимается с высоты$0$к$1$, для$n$перекрестки, так как вы проходите каждый дважды, вы можете зарезервировать высоты$\frac{k}{2n+1}, k=1,2,\ldots,2n$для «пересекающихся» точек на узле.)
Остальное должно быть простым расчетом, чтобы показать, что этот узел можно деформировать в развязанный. Если уравнение исходного узла («скользящая» часть) параметризовано как$(\rho(t)\cos\phi(t),\rho(t)\sin\phi(t),1-t), t\in[0,1]$, с участием$\rho(0)=\rho(1)=0$, затем деформируйте его, для$\lambda\in[0,1]$в$(\rho(t)\cos\lambda\phi(t),\rho(t)\sin\lambda\phi(t),1-t)$.$\lambda=1$дает исходный узел, а$\lambda=0$дает очевидную неразбериху в$x-z$самолет.