О пределе резольвентной нормы

Question

Позволять $H$- комплексное бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство. Зафиксируем любые два ненулевых оператора$A,B \in B(H)$ такой, что $B$ не является скалярным кратным $A$. Хорошо известно, что:

$$ \| R_A (z) \| \rightarrow 0 \quad \text{when}\, |z| \rightarrow +\infty $$

Это легко следует из:

$$\|R_A(z) \| \leq \frac{1}{|z| - \| A \|} \quad \forall z \in \mathbb{C} : |z| > \| A \|$$

Теперь рассмотрим оператор $A+ cB$ где $c$ положительное действительное число, и зафиксируем некоторое комплексное число $z$. Можем ли мы сказать это для всех$\epsilon >0$, Существует $M>0$ такой, что:

$$ c > M \, \, \text{such that} \, \, z \not \in \sigma(A+cB) \Rightarrow \|R_{A+cB} (z)\| < \epsilon$$

Интуитивно для$c \rightarrow +\infty$, мы бы хотели иметь:

$$ R_{A+cB}(z)=(z-A-cB)^{-1}= c^{-1}(z/c - A/c -B)^{-1} "\rightarrow" 0$$

так как $|z/c| \rightarrow 0$, $\|A\| / c \rightarrow 0$, $1/c \rightarrow 0$ а также $B$фиксированный. Однако мне не известно ни одной ссылки на результат такого рода. У кого-нибудь есть ссылка или доказательство этого?

Answer 1

Как уже заметил Майкл: контрпримеры легко построить, если $B$ имеет нетривиальное ядро $N(B)$ а также $A$ карты $N(B)$ в себя, так как на $N(B)$ размер $c$ не играет роли.

Но даже если $B$ является изоморфизмом, даже тождество $B=I$, предположение неверно: $z-A-cB=(z-c)-A$. Максимум нормы обратной (по всем$z$ из соответствующего резольвентного множества), очевидно, не зависит от $c$.

Во всяком случае, если $B$является изоморфизмом, есть некоторые оценки:

Там держит $(z-A-cB)^{-1}=B^{-1}((z-A)B^{-1}-c)^{-1}$, и можно использовать оценку резольвенты, упомянутую в вопросе, чтобы получить $$\|R_{A+cB}(z)\|\le\|B^{-1}\|\frac1{|c|-\|(z-A)B^{-1}\|}.$$ Это дает оценку, если $|c|$ большой по сравнению с $|z|\|B^{-1}\|$.

Если $|z|$ большой по сравнению с $|c|\|B\|$, можно использовать оценку из вопроса.

В противном случае нет необходимости в хорошей оценке, как указано выше ($B=I$).