О теореме Дарбу
То, что я узнал, говорит о том, что теорему Дарбу можно использовать для доказательства функции, которая не является непрерывной, также может быть верной с теоремой о промежуточном значении. Это правильно? Но почему бы нам не поговорить об этой теме, когда мы доказываем эту теорему? Разве это не так важно? Пожалуйста, ответьте ..... ps Мне жаль, что я не очень хорошо владею английским ... и я старшеклассник в Корее. Можете ли вы объяснить проще, чем другие?
Ответы
Рассмотрим любую дифференцируемую функцию $f(x)$.
Итак, в частном случае, когда $f(x)$ непрерывно дифференцируема, то, конечно, производная $f'(x)$является. непрерывный, и, следовательно, по теореме о промежуточном значении (IVT), будет достигать всех значений между своими границами. Повторюсь, в этом частном случае, когда наша функция непрерывно дифференцируема , да, теорема Дарбу - это просто обычная IVT.
Теперь в более общем случае, когда непрерывность $f'(x)$не гарантируется, мы не можем применить наш обычный IVT. Но потому что$f(x)$дифференцируема, мы все еще можем применить теорему Дарбу, которая дает нам то, что дала бы IVT, если бы она была применима. Разница, конечно, в том, что доказательство IVT не сработало бы, поскольку его гипотеза не была удовлетворена, но доказательство Дарбу работает, поскольку оно имеет другие требования, чем IVT.
Наконец, чтобы подвести итог, если у вас есть функция и вы знаете, что она является производной от некоторой функции, вы можете получить результат IVT, даже если эта функция сама по себе не является непрерывной, благодаря Дарбу. Конечно, если функция является непрерывной, вы можете напрямую использовать IVT, не заботясь о том, является ли эта функция производной от какой-либо функции или нет.
PS Приношу свои извинения за дублирование, но я хотел убедиться, что преодолел языковой пробел.