Обмен рядами и интегралами

Question

Я знаю, что могу использовать теорему Лебега или теорему о монотонной сходимости для обмена пределом частичных сумм и интегралом Лебега, заданным степенным рядом или универсальным функциональным рядом. Но в целом дали серию$\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ который сходится, и определил $\int_0^\infty\sum_{n=0}^{\infty}a_n f_n(u)du$ с участием $f_n(u)$интегрируемый, мне было интересно, когда я смогу обменять интеграцию и серию. В частности, в контексте суммирования по Борелю, учитывая$\int_0^\infty e^{-u} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_nu^n}{n!}du$, Мне было интересно, как я могу продемонстрировать это, если $\sum_{n=0}^{\infty}a_n$сходится, то я могу поменять местами интеграл и ряд. (Я знаю, что для степенной серии$\sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n$ работа может быть выполнена с использованием радиуса конвергенции и я всегда могу найти доминанту)

Answer 1

Как предложил Джеральд Эдгар, мы можем использовать теорему Фубини - Тонелли. По теореме Тонелли$$\int_0^\infty \sum_{n=0}^{\infty}\Big|e^{-u} \frac{a_nu^n}{n!}\Big|\,du =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{|a_n|}{n!}\int_0^\infty e^{-u} u^n\,du =\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|<\infty.$$ Итак, применима теорема Фубини, то есть можно поменять местами интеграл и ряд.